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\documentclass[12pt]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\exercice{%
\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
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\begin{document}
\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
\author{}
\date{2 décembre 2008}
\maketitle
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\textbf{Consignes :}
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, livres) est autorisée. L'usage des calculatrices
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\exercice
Le calendrier religieux maya (ou Tzolkin) est la combinaison de deux
cycles indépendant, l'un de $13$ jours numérotés de 1 à 13, l'autre de
$20$ jours portant des noms de dieux (dans l'ordre : « Ahau »,
« Imix », « Ik », « Akbal », « Kan », « Chicchan », « Cimi »,
« Manik », « Lamat », « Muluc », « Oc », « Chuen », « Eb », « Ben »,
« Ix », « Men », « Cib », « Caban », « Etznab » et « Caunac »).
Ces deux cycles sont complètement indépendants, c'est-à-dire que si un
jour est numéroté « 11 Ahau », le lendemain sera « 12 Imix », puis
« 13 Ik », puis « 1 Akbal », « 2 Kan » et ainsi de suite jusqu'à
« 4 Caunac » auquel suit « 5 Ahau », etc. Il n'existe aucune
irrégularité.
(1) Quelle est le nombre de jours d'un cycle du Tzolkin ? Autrement
dit, au bout de combien de jours après un jour donné retombe-t-on pour
la première fois sur un jour ayant le même numéro et le même nom ?
(2) Sachant que le 2 décembre 2008 est dénommé « 6 Ahau », déterminer
quand aura lieu le prochain jour « 10 Oc » au calendrier religieux
maya.
(3) Les Mayas utilisaient également un calendrier civil (ou Haab) de
$365$ jours exactement\footnote{Ce calendrier était lui-même organisé
en mois, mais cela ne nous importe pas ici.}, qui se répétait lui
aussi sans irrégularité, et complètement indépendamment du calendrier
religieux Tzolkin. Quelle est la longueur approximative en années
d'un cycle complet des deux calendriers ? Autrement dit, combien
d'années faut-il attendre approximativement, à partir d'un jour donné,
pour retrouver pour la première fois un jour ayant la même
dénomination dans les deux calendriers (Tzolkin et Haab) à la fois ?
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\end{document}
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