Introducing the functor of points (for an affine algebraic variety).upload-20100518

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@@ -527,7 +527,7 @@ un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux.
   $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors
   $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d)
   \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté
-  $Z(I)(A)$ ou $Z_A(I)$).
+  $Z(I)(A)$).
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
@@ -703,7 +703,7 @@ point $x$.
 Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un
 ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0
 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait
-plutôt noter $Z(\mathscr{F})(k)$ ou $Z_k(\mathscr{F})$, surtout si $k$
+plutôt noter $Z(\mathscr{F})(k)$, surtout si $k$
 n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt).  Plus
 généralement, pour toute $k$-algèbre $A$, on définit
 $Z(\mathscr{F})(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall
@@ -949,8 +949,9 @@ d'autre part.
 
 Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons)
 de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
-$k[t_1,\ldots,t_d]$, et les \emph{fermés irréductibles} en
-correspondance avec les idéaux premiers.
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$), et les
+\emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
+premiers.
 \end{scho}
 
 %
@@ -970,8 +971,19 @@ $\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$
 (modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde
 f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant
 $f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler
-$f(x)$ cette valeur.  Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I =
-(0)$), évidemment, $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
+$f(x)$ cette valeur.  Inversement, un $f \in \mathcal{O}(X)$ est
+complètement déterminé par sa valeur sur chaque point $x$ de $X$
+(rappel : $k$ est algébriquement clos ici, et c'est important !) ; en
+effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X$, tout élément de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x \in X$,
+c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui signifie justement
+$f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$.  Moralité : on peut bien considérer les
+éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.  Ces fonctions sont,
+tout simplement, les restrictions à $X$ des fonctions polynomiales
+sur $k^d$.
+
+Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$), évidemment,
+$\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$.
 
 On définit un fermé de Zariski de $X$ comme un fermé de Zariski
 de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne nouvelle est
@@ -1003,34 +1015,62 @@ Avec les notations ci-dessus :
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
+%
+\subsection{Points à valeurs dans une $k$-algèbre}
+
+On reprend la même situation : $I$ est un idéal radical de
+$k[t_1,\ldots,t_d]$ et $X = Z(I)$ est le fermé de Zariski qu'il
+définit (et $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d] / I$ l'anneau des
+fonctions régulières sur $X$.
+
+On a pour l'instant considéré $X$ comme un sous-ensemble de $k^d$,
+mais on souhaite changer progressivement de point de vue ; notamment,
+l'ensemble pré\-cé\-dem\-ment noté $X$ aura de plus en plus tendance à être
+noté $X(k)$, en appliquant la définition suivante :
+
+Pour toute $k$-algèbre $A$, on note $X(A)$ ou $Z(I)(A)$ (et on appelle
+ensemble des \textbf{$A$-points} de $X$) l'ensemble
+$\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall f \in I)\,
+f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des points de $A^d$ vérifiant les équations
+définissant $X$.  L'ensemble $X(k)$ est donc celui qu'on a
+pré\-cé\-dem\-ment considéré sous le nom de $X$.
+
+Le cas particulier de l'espace affine tout entier (soit $I = (0)$)
+sera noté $\mathbb{A}^d$ (normalement on devrait écrire
+$\mathbb{A}^d_k$, mais c'est rarement important) : ainsi,
+$\mathbb{A}^d(A) = A^d$ pour toute $k$-algèbre $A$.
+
+Si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres,
+on a une application $X(\varphi) \colon X(A) \to X(A')$ qui à
+$(x_1,\ldots,x_d) \in X(A)$ associe
+$(\varphi(x_1),\ldots,\varphi(x_d)) \in X(A')$.  (Par ailleurs,
+$X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$.)  On aura de plus en
+plus tendance à considérer que $X$ ``est'' la donnée de ces ensembles
+$X(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ et de ces applications $X(\varphi)$
+pour tout morphisme de $k$-algèbres $\varphi$ : la collection de ces
+données s'appelle le \textbf{foncteur des points} de $X$.
+
 \begin{rmk}
-On a expliqué en \ref{section-note-morphismes} que les pour toute
-$k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des
-morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ peut être vu
-comme l'ensemble $Z(I)(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0
-(\forall f \in I)\,f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des $d$-uplets
-$(x_1,\ldots,x_d)$ d'éléments de $A$ sur lesquels tout élément de $I$
-s'annule.  On notera aussi simplement $X(A)$ pour cet ensemble.
-
-En particulier, les points de $X$ peuvent être identifiés avec les
-éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$ (autrement dit, les
-morphismes $\mathcal{O}(X) \to k$ de $k$-algèbres), le point $x \in X$
-étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ d'évaluation
-en $x$.  On peut donc noter $X(k)$ cet ensemble, et les appeler
-« $k$-points », pour insister.  La classification des idéaux maximaux
-de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que tout idéal maximal
-de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant
-en un $k$-point de $X$.
+D'après ce qu'on a expliqué en \ref{section-note-morphismes}, pour
+toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des
+morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ est en
+bijection avec $X(A)$ (la bijection envoyant un morphisme $\psi\colon
+\mathcal{O}(X) \to A$ sur le $d$-uplet $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$
+où $t_1,\ldots,t_d$ sont les classes des indéterminées dans le
+quotient $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]/I$).  On aura tendance à
+utiliser cette bijection tacitement, et à considérer que les éléments
+de $X(A)$ ``sont'' des morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to A$.
+
+En particulier, les $k$-points de $X$ (c'est-à-dire l'ensemble
+précédemment noté $X$ et maintenant de préférence $X(k)$) peuvent être
+identifiés avec les éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$, le
+point $x \in X$ étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$
+d'évaluation en $x$.  La classification des idéaux maximaux
+de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que (pour $k$ algébriquement clos,
+insistons !) tout idéal maximal de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des
+fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$.
 \end{rmk}
 
-Un $f \in \mathcal{O}(X)$ est complètement déterminé par sa valeur sur
-$X(k)$ (rappel : $k$ est algébriquement clos dans tout ça, et c'est
-important !) ; en effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X(k)$, tout
-élément de $k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x
-\in X(k)$, c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui
-signifie justement $f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$.  (Moralité : on peut
-bien considérer les éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.)
-
 %
 \subsection{Morphismes de variétés algébriques}
 
@@ -1038,7 +1078,7 @@ On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
 dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
 $X$ de $k^d$.  Pourquoi cette terminologie redondante ?  Le terme
 « fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace
-affine $\mathbb{A}^d(k) := k^d$.  Le terme de « variété algébrique
+affine $\mathbb{A}^d$.  Le terme de « variété algébrique
   affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses
 propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières.  On
 a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des