Projective space, homogeneous polynomials.upload-20100523

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@@ -1975,6 +1975,118 @@ algébrique.  Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes :
 %
 %
 
+\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives}
+
+\subsection{L'espace projectif sur un corps et sur un anneau}
+
+Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^n(k)$ l'ensemble des
+$(n+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la
+relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi
+les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont
+colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent
+$[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette
+relation d'équivalence.
+
+Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon
+que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
+$(1:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ quelconques) ou bien
+$(0:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ non tous nuls).  Le point
+$(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb{A}^n$ sera identifié au point
+$(1:x_1:\cdots:x_n)$ de $\mathbb{P}^n$, tandis que les points de la
+forme $(0:x_1:\ldots:x_n)$ sont appelés « points à l'infini » (et
+collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
+$\mathbb{P}^n(k) = \mathbb{A}^n(k) \cup \mathbb{P}^{n-1}(k)$ (réunion
+disjointe des points où $x_0 \neq 0$ et des points où $x_0 = 0$) ;
+moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^n$ soit un ouvert
+dans $\mathbb{P}^n$ et $\mathbb{P}^{n-1}$ son fermé complémentaire.
+Noter que le choix de $x_0$ est arbitraire : on peut voir
+$\mathbb{P}^n$ comme réunion de $n+1$ espaces affines $\mathbb{A}^n$.
+
+\smallbreak
+
+Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^n(A)$ comme l'ensemble
+des classses d'équivalence de matrices $n\times n$ à coefficients
+dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que
+\[
+\begin{array}{c}
+\sum_{i=1}^n x_{ii} = 1\\
+(\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\
+\end{array}
+\]
+(autrement dit, la matrice a trace $1$ et deux lignes quelconques sont
+« colinéaires » au sens où tout déterminant $2\times 2$ extrait est
+nul), la relation d'équivalence identifiant une matrice $(x_{ij})$
+avec une autre $(x'_{ij})$ lorsque pour tous $i,i',j,j'$ on a $x_{ij}
+x'_{i'j'} = x_{ij'} x'_{i'j}$ (toute ligne de $x$ est colinéaire à
+toute ligne de $x'$ avec la même définition).
+
+Ceci généralise bien la définition sur un corps : si $k$ est un corps,
+pour un élément $(x_0:\cdots:x_n)$ du $\mathbb{P}^n(k)$ précédemment
+défini, il existe $i_0$ tel que $x_{i_0} \neq 0$, et on peut supposer
+$x_{i_0} = 1$, auquel cas on identifie le point avec la matrice
+$x_{ij}$ définie par $x_{ij} = 0$ sauf si $i=0$ auquel cas $x_{i_0,j}
+= x_j$.  Inversement, si $(x_{ij})$ est une matrice représentant un
+élément du $\mathbb{P}^n(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on
+peut prendre une ligne quelconque de la matrice dont tous les
+coefficients ne sont pas nuls (il en existe nécessairement une puisque
+la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un
+point de $\mathbb{P}^n(k)$ défini en premier.  Il est facile de
+vérifier que ces deux fonctions sont réciproques.
+
+
+%
+\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^n$,
+  fonctions régulières}
+
+On veut voir $\mathbb{P}^n$ comme une variété algébrique (au moins
+pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
+d'ouverts et une notion de fonctions régulières.
+
+On dit qu'un $f \in k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène de
+  degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le
+même degré total $\ell$.  L'intérêt de cette remarque est que si
+$(x_0:\cdots:x_n) \in \mathbb{P}^n(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
+k[x_0,\ldots,x_n]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$
+ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
+$(x_0:\cdots:x_n)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_n)
+\in \mathbb{P}^n(k) : f(x_0,\ldots,x_n) = 0\}$ (il faudrait noter
+$Z_{\mathbb{P}^n}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire.
+
+On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
+\in k[x_0,\ldots,x_n]$ la somme de tous ses monômes de degré
+total $\ell$.  Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties
+homogènes.  Le produit de deux polynômes homogènes de degrés
+respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$.
+
+On dit qu'un idéal $I$ de $k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène}
+lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne
+signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes
+homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit
+constitué de polynômes homogènes).  De façon équivalente, il s'agit
+d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$
+est encore dans $I$.  (Démonstration de l'équivalence : si toute
+partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en
+prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties
+homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore
+génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$
+admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si
+$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés
+$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i
+g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$
+de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où
+$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré
+$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)
+
+Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$
+comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
+d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
+un ensemble de générateurs homogènes de $I$.
+
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+%
+%
+%
+
 \section{TODO}
 
 Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?).