Ramification of a morphism (start section).upload-20100609

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@@ -4093,6 +4093,28 @@ de \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} de manière analogue
 
 
 %
+\subsection{Ramification d'un morphisme}
+
+\begin{prop}
+Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes
+sur $k$, pour tout point $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$), il existe un
+(unique) entier $e_P \geq 1$ tel que $\ord_P h^*(f) = e_P \ord_{h(P)}
+f$ pour tout $f \in k(C)$.  On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de
+  ramification} de $h$ en $P$.
+\end{prop}
+
+\begin{rmk}
+Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un
+morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong
+k(h) \subseteq k(C)$.  En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P
+= \ord_P h$ pour tout $P$ tel que $h(P)=0$.  Si $P$ est tel que $h(P)
+= \infty$ alors $e_P = -\ord_P h$.  Enfin, si $h(P)$ n'est ni $0$ ni
+$\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$.
+\end{rmk}
+
+
+
+%
 %
 %
 \end{document}