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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 02:28:42 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 02:28:42 (GMT)
commit3b10af3c2e6a34d2bf0e68b7baf33591f4266291 (patch)
treefe799f5d74aee100fcfc3b8feb117b116812526d
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Ramification of a morphism (start section).upload-20100609
-rw-r--r--notes-geoalg.tex22
1 files changed, 22 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index 85be9aa..4fb1a87 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -4093,6 +4093,28 @@ de \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} de manière analogue
%
+\subsection{Ramification d'un morphisme}
+
+\begin{prop}
+Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes
+sur $k$, pour tout point $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$), il existe un
+(unique) entier $e_P \geq 1$ tel que $\ord_P h^*(f) = e_P \ord_{h(P)}
+f$ pour tout $f \in k(C)$. On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de
+ ramification} de $h$ en $P$.
+\end{prop}
+
+\begin{rmk}
+Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un
+morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong
+k(h) \subseteq k(C)$. En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P
+= \ord_P h$ pour tout $P$ tel que $h(P)=0$. Si $P$ est tel que $h(P)
+= \infty$ alors $e_P = -\ord_P h$. Enfin, si $h(P)$ n'est ni $0$ ni
+$\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$.
+\end{rmk}
+
+
+
+%
%
%
\end{document}