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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-05-12 18:12:10 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-05-12 18:12:10 (GMT)
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Some fundamental results in algebraic geometry.
-rw-r--r--notes-geoalg-2011.tex290
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index f61895f..bc12fc8 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -1685,11 +1685,291 @@ Pour les fonctions régulières, on a ce qu'on imagine : un morphisme $X
$X_{k^{\alg}}$ stable par Galois, et c'est ce qu'on appelle une
fonction régulière sur $X$. Lorsque $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$
est affine (avec $I = \mathfrak{I}(X)$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$),
-les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de
-$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. En général, on peut toujours définir une
-fonction régulière sur $X$ par recollement de fonctions régulières sur
-des ouverts affines (c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$},
-il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique).
+les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de $\mathcal{O}(X)
+:= k[t_1,\ldots,t_d]/I$, qui est donc plus petit que
+$\mathcal{O}(X_{k^{\alg}}) = k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/I_{k^{\alg}}$.
+En général, on peut toujours définir une fonction régulière sur $X$
+par recollement de fonctions régulières sur des ouverts affines
+(c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$}, il n'y a pas besoin
+de passer à la clôture algébrique).
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\section{Quelques résultats fondamentaux de la géométrie algébrique}
+
+\subsection{L'opposition affine-projectif}
+
+\begin{thm}\label{projective-to-affine-morphisms-are-constant}
+Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété
+affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur
+une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$,
+est constant sur chaque composante connexe.)
+\end{thm}
+
+
+%
+\subsection{La dimension}
+
+\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on dit
+que des éléments $x_i$ de $K$ sont \textbf{algébriquement
+ indépendants} (comprendre : « collectivement transcendants »)
+sur $k$ lorsque les seuls polynômes $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que
+$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_d}) = 0$ pour certains $i_1,\ldots,i_d$ deux à
+deux distincts sont les polynômes nuls. Ceci est équivalent au fait
+que le sous-corps $k(x_i)$ de $K$ engendré par les $x_i$ avec $k$ est
+isomorphe au corps des fractions rationnelles sur autant
+d'indéterminées que de $x_i$ (il est plus simple de penser au cas où
+les $x_i$ sont en nombre fini, qui nous suffira). On appelle
+\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ un ensemble maximal
+d'éléments algébriquement indépendants, c'est-à-dire, un ensemble de
+$x_i$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $K$ soit
+algébrique sur le sous-corps $k(x_i)$ qu'ils engendrent au-dessus
+de $k$. Une base de transcendance de $K$ sur $k$ existe toujours, et
+toutes ont le même cardinal : on appelle celui-ci \textbf{degré de
+ transcendance} de $K$ sur $k$ et on le note $\degtrans_k(K)$.
+
+Par exemple, $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_d) = d$ (où
+$k(t_1,\ldots,t_d)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $d$
+indéterminées sur $k$). Lorsque $K$ est algébrique sur $k$, on a
+$\degtrans_k K = 0$ et réciproquement. Par ailleurs, lorsque $k
+\subseteq K \subseteq L$ sont trois corps, on a toujours $\degtrans_k L
+= \degtrans_k K + \degtrans_K L$.
+
+\begin{defn}\label{definition-rational-function-and-dimension}
+Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur un corps $k$, on appelle
+\textbf{fonction rationnelle} sur $X$ une fonction régulière sur un
+ouvert non-vide=dense quelconque de $X$, en identifiant deux fonctions
+si elles coïncident sur l'intersection de leur domaine de définition ;
+on note $k(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$. Lorsque
+$X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des
+fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions
+régulières sur $X$, qui est intègre). De façon générale, $k(X)$
+coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$
+de $X$ (on peut donc définir $k(X) = \Frac \mathcal{O}(U)$ pour $U$ un
+ouvert affine dense de $X$).
+
+On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$
+de $k(X)$.
+\end{defn}
+
+Pour $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$, le corps des fractions
+rationnelles est $k(t_1,\ldots,t_d)$ et
+$k(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0})$. La dimension de
+$\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$ est donc $d$. De façon générale,
+d'après ce qu'on vient de dire, la dimension d'une variété
+irréductible est égale à celle de n'importe lequel de ses ouverts
+non-vides.
+
+(Lorsque $X$ n'est pas irréductible, on appelle dimension de $X$ la
+plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$. Parfois
+on convient que la dimension du vide est $-1$.)
+
+La dimension de $X$ est une notion « géométrique » : on a $\dim X =
+\dim X_{k^{\alg}}$.
+
+\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz}
+Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in
+\mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire
+$Z(f) \neq\varnothing$) et pas nul. Alors chaque composante
+irréductible de $Z(f)$ est de dimension $d-1$.
+
+Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de
+dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène non constant (en
+$e+1$ variables). Alors chaque composante irréductible de $X \cap
+Z(f)$ est de dimension $d-1$, \emph{et de plus $X \cap Z(f)$ n'est pas
+ vide}\footnote{On rappelle que « non vide » signifie ici que la
+ variété a des points sur $k^{\alg}$ algébriquement clos, pas
+ nécessairement qu'elle a des $k$-points.} lorsque $d\geq 1$.
+\end{thm}
+
+\begin{cor}
+Si $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en $e+1$ variables,
+avec $r \leq e$, alors $Z(f_1,\ldots,f_r) \neq \varnothing$,
+c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations
+$f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune.
+\end{cor}
+
+De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $e-r$.
+Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient
+être tous égaux, par exemple). Lorsqu'il est exactement de dimension
+$e-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète}
+(projective, globale).
+
+\begin{cor}
+Si $X$ est une variété algébrique (quasiprojective) irréductible de
+dimension $d$, alors le seul fermé $Y$ de $X$ tel que $\dim Y = d$ est
+$X$ lui-même. Par ailleurs, il existe toujours des fermés
+irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$.
+
+(Autrement dit, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 +
+\max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles
+de $X$.)
+\end{cor}
+
+\begin{thm}
+Soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés algébriques
+(quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où pour tout $x
+\in X$ il existe $z \in Z$ tel que $x = f(z)$, $x,z$ étant des points
+sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos,, cf. la section
+suivante), et soit $d = \dim X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et
+de plus :
+\begin{itemize}
+\item Si $x \in X$, alors toute composante de $f^{-1}(x)$ (cf. section
+ suivante) est de dimension \emph{au moins} $e-d$.
+\item Il existe un ouvert non vide (donc dense) $U \subseteq X$ tel
+ que $\dim f^{-1}(x) = e - d$ (au sens où toute composante
+ irréductible de $f^{-1}(x)$ a cette dimension) si $x \in U$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+%
+\subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism}
+
+Si $X \buildrel f\over\to Y$ est un morphisme entre variétés
+quasiprojectives et $Y' \subseteq Y$ un fermé ou un ouvert (ou
+l'intersection d'un fermé et d'un ouvert) dans $Y$, il est facile de
+définir l'\emph{image réciproque} de $Y'$ par $f$ : il suffit de
+« tirer » les équations de $Y'$ de $Y$ à $X$, c'est-à-dire écrire les
+équations $h\circ f = 0$ pour chaque équation $h = 0$ de $Y'$ (et
+pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert).
+
+Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus
+délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$,
+et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si
+$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels
+qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
+
+\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
+\begin{itemize}
+\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
+ quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
+ il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
+ dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
+ telle que $y \in Y'$ (point sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement
+ clos) si et seulement si il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) =
+ y$.
+\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
+ f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
+\item Variante : si $X$ est projective et $Y$ quasiprojective, la
+ seconde projection $X\times Y \to Y$ est une application fermée au
+ sens où l'image d'un fermé de $X \times Y$ dans $Y$ est un fermé.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+%
+\subsection{Vecteurs tangents et points lisses}
+\label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points}
+
+Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est
+un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$,
+et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos
+ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du
+noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
+ t_j}(x_1,\ldots,x_d)$ (c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
+tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
+ t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$). Intuitivement, il faut comprendre
+un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le
+reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec
+$\varepsilon$ infinitésimal (en fait, $\varepsilon^2=0$). L'espace
+vectoriel des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement
+\textbf{espace tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$.
+
+Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective quelconque, on
+rappelle que tout point $x \in X$ a un voisinage affine $V$, et on
+définit alors $T_x X = T_x V$. (Cette définition passe sous silence
+un certain nombre de choses, par exemple la manière dont on identifie
+$T_x V$ et $T_x V'$ si $V,V'$ sont deux voisinages affines différents
+du même point $x$, à commencer par le fait qu'ils ont la même
+dimension.)
+
+\medbreak
+
+\begin{prop}
+Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement
+clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
+\end{prop}
+
+Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit
+d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$
+(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que
+peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou
+\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout
+point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit
+que $X$ lui-même est lisse (ou régulier) (sur son corps de base).
+
+(Pour une variété réductible, un point situé sur une seule composante
+irréductible est dit lisse lorsqu'il est lisse sur la composante en
+question ; et un point situé sur plusieurs composantes irréductibles à
+la fois n'est jamais lisse --- on peut prendre ça comme définition ou
+le montrer en prenant comme définition de la lissité le fait que la
+dimension de l'espace tangent au point considéré soit égale à la plus
+grande dimension d'une composante irréductible passant par ce point.)
+
+\begin{prop}
+Soit $X$ une variété quasiprojective sur un corps algébriquement
+clos $k$ : alors les points lisses de $X$ forment un ouvert de
+Zariski.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+L'affirmation est locale, donc on peut supposer $X$ affine. Si $X$
+est de codimension $r$ (c'est-à-dire de dimension $d-r$
+dans $\mathbb{A}^d$), le fait que $x$ soit lisse se traduit par le
+fait que la matrice des dérivées partielles en $x$ des équations
+définissant $X$ est de rang \emph{au moins} $r$ (sachant qu'elle ne
+peut pas être strictement supérieure). Or ceci se traduit par le fait
+qu'il existe un mineur $r\times r$ de cette matrice qui ne s'annule
+pas : la réunion des ouverts définis par tous les mineurs $r\times r$
+(qui sont bien polynomiaux dans les variables) donne bien une
+condition ouverte de Zariski.
+\end{proof}
+
+\begin{rmk}
+\begin{itemize}
+\item D'après \ref{hauptidealsatz}, une hypersurface $Z(f)$
+ dans $\mathbb{A}^d$, pour $f$ non constant, est de dimension $d-1$,
+ donc elle est lisse ssi aucun point de $Z(f)$ n'annule simultanément
+ les $d$ dérivées partielles de $f$. Grâce au Nullstellensatz, ceci
+ peut encore se reformuler en : $Z(f)$ est lisse ssi les polynômes
+ $f$ et $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ (soit $d+1$ polynômes au
+ total) engendrent l'idéal unité de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\item Variante projective : pour $f$ homogène de degré non nul dans
+ $k[t_0,\ldots,t_d]$, on peut montrer que $Z(f) \subseteq
+ \mathbb{P}^d$ est lisse ssi les polynômes $\frac{\partial
+ f}{\partial t_i}$ n'ont aucun zéro commun sur $k$ (algébriquement
+ clos !), car un zéro commun des $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
+ est forcément zéro de $f = \sum_{i=0}^d t_i \frac{\partial
+ f}{\partial t_i}$. Grâce au Nullstellensatz projectif, on peut
+ encore reformuler cela en : les $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
+ engendrent un idéal irrelevant.
+\item Quand $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ (affine, disons
+ dans $\mathbb{A}^d$) est définie par plusieurs polynômes
+ $f_1,\ldots,f_r$, \emph{si} la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
+ t_j}$ est de rang $r$ en un point de $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$, on
+ peut conclure que ce point est lisse et que $X$ est de
+ dimension $d-r$. En revanche, lorsque le rang est plus petit
+ que $r$, on ne peut pas conclure sauf en connaissant la dimension
+ de $X$.
+\end{itemize}
+\end{rmk}
+
+\begin{prop}
+Soit $X$ une variété quasiprojective : alors il existe un point lisse
+de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, sur il
+existe un ouvert dense de points lisses sur une variété
+quasiprojective irréductible.
+\end{prop}
+
+Ceci permet parfois de calculer la dimension d'une variété, en
+reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le
+\emph{minimum} des dimensions des espaces vectoriels $T_x X$ (donc,
+dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible
+que prend la matrice des dérivés partielles).
%