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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-31 19:09:58 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-31 19:09:58 +0200
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Another example. Details are sketchy.
-rw-r--r--notes-geoalg.tex22
1 files changed, 22 insertions, 0 deletions
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index 80d4a7b..9a702d0 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2512,6 +2512,28 @@ morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de
la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est
dense), et le calcul est alors simplifié.
+\smallbreak
+
+¶ Appelons maintenant $C^\sharp$ la variété d'équations $x_0 x_2 =
+x_1^2, \penalty-100\; x_1 x_3 = x_2^2, \penalty-100\; x_0 x_3 = x_1
+x_2$ dans $\mathbb{P}^3$ de coordonnées homogènes $(x_0:x_1:x_2:x_3)$,
+et considérons le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées homogènes $(t_0:t_1)$.
+On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^\sharp$ par $(t_0:t_1)
+\mapsto (t_0^3: t_0^2 t_1: t_0 t_1^2: t_1^3)$ : ceci définit bien un
+morphisme vers $\mathbb{P}^3$ car l'idéal engendré par $(t_0^3, t_0^2
+t_1, t_0 t_1^2, t_1^3)$ est irrelevant (ce sont tous les monômes de
+degré $3$ !), et il tombe bien dans $C^\sharp$ car $(t_0^3, t_0^2 t_1,
+t_0 t_1^2, t_1^3)$ vérifient les équations de $C^\sharp$.
+
+Réciproquement, définissons un morphisme $C^\sharp \to \mathbb{P}^1$ :
+il sera donné par les équations $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_0:x_1)$
+et $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_2:x_3)$. Le fait que ces équations se
+recollent bien est assuré par l'équation $x_0 x_3 = x_1 x_2$
+sur $C^\sharp$ ; le morphisme est alors défini sur tout $C^\sharp$
+puisque $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ engendrent un idéal irrelevant. De
+nouveau, on peut vérifier que la composée dans les deux sens est
+l'identité.
+
%