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path: root/notes-mdi349.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-05-10 23:46:38 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-05-10 23:46:38 +0200
commitfe642ddd522fe5b1eb98bdc25a0c62bf39daff5a (patch)
tree96e1700503173f79f8be7c9aa2a69a82b0d9b4d0 /notes-mdi349.tex
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-rw-r--r--notes-mdi349.tex12
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index fd5cada..744a7e9 100644
--- a/notes-mdi349.tex
+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -162,7 +162,7 @@ tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une
\{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
-\in k$ (uniquement défini).
+\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$).
\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point
$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le
@@ -305,6 +305,16 @@ dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
\mathfrak{p}$.
\end{proof}
+En appliquant ce résultat à $A/I$, on obtient :
+\begin{prop}
+Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
+tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
+c'est le plus petit idéal radical contenant $I$. Cet idéal est
+précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.
+On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd
+I$.
+\end{prop}
+
L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
strictement plus grand que le nilradical.