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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 889b23b..61b2cb3 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -32,6 +32,7 @@ \newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque} \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} \newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples} +\newtheorem{princ}[comcnt]{Principe} \newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} @@ -292,7 +293,7 @@ pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec $I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$). \end{lem} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{existence-ideaux-maximaux} Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans un idéal maximal. \end{prop} @@ -907,7 +908,7 @@ Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut. En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) : -\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}] +\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes} Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ @@ -1201,6 +1202,10 @@ Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la dernière est, de ce point de vue, la plus robuste. +\emph{Remarque :} Un morphisme $X \to \mathbb{A}^1$ est la même chose +qu'une fonction régulière sur $X$ (c'était le point de départ, mais il +est bon d'insister là-dessus). + \smallbreak \textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$, @@ -1517,6 +1522,106 @@ fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$ et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(x,y)$. +% +\subsection{Structure de variété d'un ouvert principal} + +Pour l'instant, on n'a appelé « variété » qu'un fermé de Zariski. On +voudrait étendre le terme de sorte qu'au moins les \emph{ouverts} de +Zariski deviennent des variétés. Pour l'instant, on va regarder le +cas d'un ouvert principal $D(f) = \{x : f(x) \neq 0\}$ : on souhaite +définir, si possible en motivant intuitivement, ce que seront les +fonctions régulières sur $D(f)$ et les morphismes depuis et +vers $D(f)$. + +\smallbreak + +\textbf{Motivation.} Partons de l'exemple le plus simple : $U = D(t) = +\{t : t\neq 0\}$, le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^1$. +On sait qu'un morphisme $X \buildrel f\over\to \mathbb{A}^1$ (si $X$ +est une variété algébrique affine) est la même chose qu'une fonction +régulière sur $X$, c'est-à-dire, un élément $f$ de $\mathcal{O}(X)$. +Que doit être un morphisme $X \buildrel f\over\to U$ ? Certainement +on veut pouvoir le voir (en composant par l'inclusion $U \to +\mathbb{A}^1$) comme une sorte particulière de morphismes $X \buildrel +f\over\to \mathbb{A}^1$, donc de fonctions régulières sur $X$ : +essentiellement, celles qui « évitent zéro » (ou « ne prennent pas la + valeur zéro »). Or dire que $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in X(k)$ +(pour $k$ algébriquement clos !) signifie $f \not\in \mathfrak{m}_x$ +pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ (on sait d'après les +résultats autour du Nullstellensatz +(cf. \ref{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}) que tout idéal +maximal de $\mathcal{O}(X)$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f : +f(x) = 0\}$) ; or dire qu'un élément $f$ d'un anneau n'appartient à +\emph{aucun} idéal maximal signifie qu'il n'appartient à aucun idéal +strict (cf. \ref{existence-ideaux-maximaux}), donc que l'idéal qu'il +engendre est l'idéal unité, c'est-à-dire que $f$ est +\emph{inversible}. \underline{Moralité :} les morphismes $X \to U$ +devraient être les éléments inversibles de $\mathcal{O}(X)$. + +A contrario, quels devraient être les fonctions régulières sur $U$ ? +On veut au moins avoir l'inclusion $U \to \mathbb{A}^1$, qui +déterminerait une fonction régulière $t$ sur $U$, et plus généralement +tout élément de $k[t]$, comme il détermine un morphisme $\mathbb{A}^1 +\to \mathbb{A}^1$, devrait déterminer une fonction régulière sur $U$. +Mais il y a plus : d'après ce qu'on a dit ci-dessus, si on souhaite +que $U$ se comporte comme une variété algébrique affine, l'identité $U +\to U$, c'est-à-dire l'élément $t$, devrait être un élément +\emph{inversible} de $\mathcal{O}(U)$. Il faut donc trouver une façon +de rendre $t$ inversible : or on en a trouvé une, c'est la +localisation. On va donc poser $\mathcal{O}(U) = k[t][\frac{1}{t}] =: +k[t,t^{-1}]$, l'anneau des fractions rationnelles de la forme +$\frac{f}{t^s}$ avec $f \in k[t]$ et $s\in \mathbb{N}$. Cet anneau +est d'ailleurs isomorphe (via $t \mapsto x$ et $t^{-1} \mapsto y$) à +$k[x,y]/(xy-1)$, l'anneau de l'hyperbole d'équation $xy=1$ : or il +semble naturel de considérer $U$ (la droite privée d'un point) comme +la projection $(x,y) \mapsto x$ de cette hyperbole $Z(xy-1)$. Ceci +est cohérent avec ce qu'on a décidé ci-dessus : les morphismes +$k[t,t^{-1}] \to A$, pour toute $k$-algèbre $A$, s'identifient aux +éléments inversibles de $A$. + +Toute cette motivation semble justifier d'identifier l'ouvert $U = +D(t) = \{t : t\neq 0\}$ de $\mathbb{A}^1$ avec la variété algébrique +affine $\Spec k[t,t^{-1}]$ associée à l'anneau $k[t,t{^-1}]$. + +Plus généralement, on part du : +\begin{princ} +Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, on +considérera $D(f)$ lui-même comme la variété algébrique affine $\Spec +\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, associé à l'anneau +$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ localisé de $\mathcal{O}(X)$ +inversant $f$. +\end{princ} + +De ce principe découlent : +\begin{defn} +Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et +$Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera +identifié à la donnée d'un élément de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ +ou d'un morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to +\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ (c'est-à-dire, concrètement, si $Y$ est +vu plongé comme un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^e$, comme $e$ +éléments de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ vérifiant les équations +de $Y$). + +Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et +$X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera +identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que $h^*(g) +\in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de $h\colon X\to Y$ avec +$g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$) +soit inversible. + +Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et +si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, un +morphisme $D(f) \to D(g)$ sera identifié à la donnée d'un élément $h$ +de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ (ou d'un morphisme $h^* \colon +\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres) tel +que $h^*(g)$ soit inversible, ou, ce qui revient encore au même, un +morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to +\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres. +\end{defn} + +De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée ! + % % |