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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 836f74f..1d9758a 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -963,14 +963,16 @@ radical de $I$). \begin{proof} On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit de montrer la réciproque. Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut -prouver $f\in I$. On vérifie facilement que ceci revient à montrer -que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est -l'idéal unité. Or $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = -k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et -$zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que $Z(J) = \varnothing$ -(dans $k^{d+1}$), donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = -k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : ceci donne $I[\frac{1}{f}] = -k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$. +prouver $f\in \surd I$. On vérifie facilement que ceci revient à +montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ +de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité. Or +$k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ +d'après \ref{localise-inversant-un-element}. Soit $J$ l'idéal +engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que +$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir +simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, +donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : +ceci donne $I[\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$. \end{proof} \begin{scho} @@ -1051,7 +1053,7 @@ Avec les notations ci-dessus : \smallbreak Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$ -(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal +(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal radical de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction |