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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 124b809..c87d682 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2697,7 +2697,7 @@ non-vides. plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$. Parfois on convient que la dimension du vide est $-1$.) -\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull] +\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz} Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in \mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire $Z(f) \neq\varnothing$). Alors chaque composante irréductible de @@ -2760,6 +2760,130 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? \end{thm} +% +\subsection{Vecteurs tangents et points lisses} + +Si $X$ est une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement +clos) $k$, on appelle \textbf{vecteur tangent} à $X$ un élément de +$X(k[\varepsilon])$ où $k[\varepsilon]$ est la $k$-algèbre +$k[t]/(t^2)$ (on note $\varepsilon$ la classe de $t$ dans cette +algèbre, c'est-à-dire que $\varepsilon^2 = 0$). Le \emph{point-base} +de ce vecteur tangent est l'image de cet élément par l'application +$X(k[\varepsilon]) \to X(k)$ qui résulte du morphisme d'anneaux +$k[\varepsilon] \to k$ envoyant $\varepsilon$ sur $0$ ; si $x$ est ce +point base, on dit aussi qu'on a affaire à un vecteur tangent à $X$ +\emph{en} $x$. L'ensemble des vecteurs tangents à $X$ en $x$ est noté +$T_x X$ et s'appelle \emph{espace tangent} à $X$ en $x$. + +On peut voir les choses plus concrètement en passant en affine : +l'espace tangent à $X$ en $x$ est le même que l'espace tangent en $x$ +à n'importe quel voisinage affine de $x$, donc on peut faire tout +calcul en supposant que $X$ est affine. Si $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ +est défini\footnote{Ce genre d'affirmation, ici et ailleurs, + sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est réduit, sauf + si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme + une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} par les équations +$f_i = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ alors un point tangent à $X$ peut +s'écrire $(x_1+v_1 \varepsilon,\ldots, x_d + v_d\varepsilon)$ où +$(x_1,\ldots,x_d) \in X(k)$ (i.e. $f_i(x_1,\ldots,x_d) = 0$ pour +tout $i$) sont les coordonnées du point-base, et où $\sum_{j=1}^d v_j +\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d) = 0$ : autrement +dit, les $v_i$ appartiennent au noyau de la matrice des dérivées +partielles des équations de $X$. Ceci permet de dire, en le voyant +comme le noyau en question, que $T_x X$ est un \emph{espace vectoriel} +pour chaque $x$ donné (implicitement dans cette affirmation il y a +celle que la structure d'espace vectoriel ne dépend pas du voisinage +affine dans lequel on a considéré les coordonnées) ; sa dimension est +$d - r$ où $r$ est le rang de la matrice des $\frac{\partial + f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d)$. + +\medbreak + +\begin{prop} +Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement +clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. +\end{prop} + +Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit +d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$ +(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que +peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou +\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout +point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit +que $X$ lui-même est lisse (ou régulier) (sur son corps de base). + +(Pour une variété réductible, un point situé sur une seule composante +irréductible est dit lisse lorsqu'il est lisse sur la composante en +question ; et un point situé sur plusieurs composantes irréductibles à +la fois n'est jamais lisse --- on peut prendre ça comme définition ou +le montrer en prenant comme définition de la lissité le fait que la +dimension de l'espace tangent au point considéré soit égale à la plus +grande dimension d'une composante irréductible passant par ce point.) + +\begin{prop} +Soit $X$ une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement +clos) $k$ : alors les points lisses de $X(k)$ forment un ouvert de +Zariski. +\end{prop} +\begin{proof} +L'affirmation est locale, donc on peut supposer $X$ affine. Si $X$ +est de codimension $r$ (c'est-à-dire de dimension $d-r$ +dans $\mathbb{A}^d$), le fait que $x$ soit lisse se traduit par le +fait que la matrice des dérivées partielles en $x$ des équations +définissant $X$ est de rang \emph{au moins} $r$ (sachant qu'elle ne +peut pas être strictement supérieure). Or ceci se traduit par le fait +qu'il existe un mineur $r\times r$ de cette matrice qui ne s'annule +pas : la réunion des ouverts définis par tous les mineurs $r\times r$ +(qui sont bien polynomiaux dans les variables) donne bien une +condition ouverte de Zariski. +\end{proof} + +\begin{rmk} +\begin{itemize} +\item D'après \ref{hauptidealsatz}, une hypersurface $Z(f)$ + dans $\mathbb{A}^d$, pour $f$ non constant, est de dimension $d-1$, + donc elle est lisse ssi aucun point de $Z(f)$ n'annule simultanément + les $d$ dérivées partielles de $f$. Grâce au Nullstellensatz, ceci + peut encore se reformuler en : $Z(f)$ est lisse ssi les polynômes + $f$ et $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ (soit $d+1$ polynômes au + total) engendrent l'idéal unité de $k[t_1,\ldots,t_d]$. +\item Variante projective : pour $f$ homogène de degré non nul dans + $k[t_0,\ldots,t_d]$, on peut montrer que $Z(f) \subseteq + \mathbb{P}^d$ est lisse ssi les polynômes $\frac{\partial + f}{\partial t_i}$ n'ont aucun zéro commun sur $k$ (algébriquement + clos !), car un zéro commun des $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ + est forcément zéro de $f = \sum_{i=0}^d t_i \frac{\partial + f}{\partial t_i}$. Grâce au Nullstellensatz projectif, on peut + encore reformuler cela en : les $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ + engendrent un idéal irrelevant. +\item Quand $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ (affine, disons + dans $\mathbb{A}^d$) est définie par plusieurs polynômes + $f_1,\ldots,f_r$, \emph{si} la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial + t_j}$ est de rang $r$ en un point de $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$, on + peut conclure que ce point est lisse et que $X$ est de + dimension $d-r$. En revanche, lorsque le rang est plus petit + que $r$, on ne peut pas conclure sauf en connaissant la dimension + de $X$. +\end{itemize} +\end{rmk} + +\begin{prop} +Soit $X$ une variété\footnote{Ici, le mot « variété » est + particulièrement important : beaucoup de définitions ou concepts + introduits ailleurs fonctionneraient aussi pour un schéma, + c'est-à-dire un objet défini par un idéal non radical, mais ici ce + n'est pas le cas.} quasiprojective sur un corps (algébriquement +clos) $k$ : alors il existe un point lisse de $X(k)$ --- par +conséquent, il existe un ouvert dense de points lisses. +\end{prop} + +Ceci permet parfois de calculer la dimension d'une variété, en +reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le +\emph{minimum} des dimensions des espaces vectoriels $T_x X$ (donc, +dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible +que prend la matrice des dérivés partielles). + + % % @@ -2981,8 +3105,6 @@ il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique). \section{TODO} -Un peu de théorie de la dimension. Un chouïa de calcul différentiel ? - Bases de Gröbner. Courbes et corps de dimension $1$. But : arriver à Riemann-Roch. |