diff options
| -rw-r--r-- | notes-geoalg.tex | 154 |
1 files changed, 152 insertions, 2 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index f9aa9a6..94038c5 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -45,6 +45,7 @@ \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\init}{\operatorname{in}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -3284,9 +3285,158 @@ il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique). % % -\section{TODO} +\section{Introduction aux bases de Gröbner} + +\subsection{Monômes et idéaux monomiaux} + +On appelle \textbf{monôme} de $k[t_1,\ldots,t_d]$ un +$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$. On dit qu'un monôme +$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$ \textbf{divise} un monôme +$t_1^{\ell'_1}\cdots t_d^{\ell'_d}$ lorsque $\ell_i \leq \ell'_i$ pour +tout $i$ (c'est bien la relation de divisibilité dans l'anneau +factoriel $k[t_1,\ldots,t_d]$, restreinte aux monômes, et le rapport +est alors lui-même un monôme). Un \textbf{terme} est un monôme +multiplié par une constante (=élément de $k$) non nulle : on parle +alors du monôme \emph{de} ce terme. Tout polynôme s'écrit de façon +unique comme somme de termes dont les monômes sont distincts : ce sont +les termes de (=intervenant dans) ce polynôme. + +Commençons par la remarque suivante, qui est évidente, mais +essentielle : +\begin{prop}\label{divisibilite-monomes} +Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors +pour chaque terme $c s$ de $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$ (où +$g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$) le monôme $s$ de ce terme est +divisible par l'un des $s_i$. +\end{prop} +\begin{proof} +En développant l'écriture $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$, puisque la +somme comporte le terme $c s$, au moins un des facteurs comporte un +terme dont le monôme est $s$, ce qui montre bien que $s$ est divisible +par un des $s_i$. +\end{proof} + +\begin{cor} +Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, l'idéal +qu'ils engendrent est exactement l'idéal des polynômes dont le monôme +de chaque terme est divisible par un des $s_i$. +\end{cor} +\begin{proof} +On vient de montrer que si $f$ est dans $(s_1,\ldots,s_r)$ alors le +monôme de chaque terme de $f$ est divisible par un des $s_i$. +Réciproquement, si c'est le cas, $f$ est somme de termes multiples +des $s_i$, qui appartiennent donc à l'idéal engendré par les $s_i$. +\end{proof} + +On appelle \textbf{idéal monomial} un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ qui +peut être engendré par des monômes : le corollaire ci-dessus montre +que si $I$ est un idéal monomial, alors tout terme d'un élément de $I$ +est encore un élément de $I$. Réciproquement, si $I$ est un idéal tel +que tout terme d'un élément de $I$ soit un élément de $I$, alors $I$ +est monomial (en effet, on peut choisir un ensemble de générateurs +de $I$, et les monômes des termes de ces générateurs donnent des +éléments de $I$ qui engendrent les générateurs choisis, donc +engendrent $I$). + + + +% +\subsection{Ordres admissibles sur les monômes} + +On appelle \textbf{ordre admissible} sur les monômes de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ une relation d'ordre total $\preceq$ sur les +monômes de ce dernier telle que : +\begin{itemize} +\item $1 \preceq s$ pour tout monôme $s$, et +\item si $s_1 \preceq s_2$ et $s$ est un monôme quelconque, alors $s + s_1 \preceq s s_2$. +\end{itemize} + +\begin{prop} +Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de +$k[t_1,\ldots,t_d]$, alors +\begin{itemize} +\item si $s_1 | s_2$ alors $s_1 \preceq s_2$, +\item $\preceq$ est un bon ordre (c'est-à-dire : tout ensemble non + vide de monômes a un plus petit élément pour $\preceq$, ou de façon + équivalente, il n'y a pas de suite infinie strictement décroissante + de monômes pour $\preceq$). +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} +Le premier point est évident : si $s_2 = s s_1$ alors $1 \preceq s$ +entraîne $s_1 \preceq s s_1 = s_2$. Montrons le second : si $S$ est +un ensemble de monômes, soit $I$ l'idéal qu'ils engendrent ; comme +$k[t_1,\ldots,t_d]$ est noethérien, il existe un sous-ensemble fini +$S_0 \subseteq S$ qui engendre le même idéal $I$. Soit $s$ le plus +petit élément de $S_0$ : on prétend que $s$ est aussi le plus petit +élément de $S$. En effet, si $s' \in S$ alors $s' \in I$ donc $s'$ +s'écrit comme combinaison d'éléments de $S_0$, mais alors +d'après \ref{divisibilite-monomes}, $s'$ est simplement multiple d'un +élément de $S_0$, et d'après le premier point, $s\preceq s'$, ce qui +conclut. +\end{proof} + +Lorsque $d=1$, le seul ordre admissible sur les monômes est évidemment +celui donné par $t^\ell \preceq t^{\ell'}$ ssi $\ell \leq \ell'$. + +Une fois fixé un ordre admissible $\preceq$ sur les monômes, si $f \in +k[t_1,\ldots,t_d]$ est non nul, on note $\init_{\preceq}(f)$ (ou +simplement $\init(f)$ si l'ordre est sous-entendu) et on appelle +« terme initial de $f$ » le terme au \emph{plus grand} monôme pour +l'ordre en question. (Lorsque $d=1$, pour le seul ordre admissible +sur les monômes, ceci est simplement le terme dominant de $f$.) Si +$f=0$ on pose (un peu abusivement) $\init(f) = 0$. + + + +% +\subsection{Bases de Gröbner} + +Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (et $\preceq$ un ordre +admissible), on appelle $\init_{\preceq}(I)$ l'idéal engendré par les +$\init_{\preceq}(f)$ pour tous les $f\in I$ (c'est donc un idéal +monomial). Attention ! il n'y a aucune raison que prendre les +$\init_{\preceq}(f)$ pour $f$ parcourant des générateur de $I$ suffise +à engendrer $\init_{\preceq}(I)$. + +\begin{defn} +Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre +admissible sur les monômes de ce dernier, on appelle \textbf{base de + Gröbner} de $I$ un ensemble $f_1,\ldots,f_r$ d'éléments de $I$ tels +que $\init_{\preceq}(f_1),\ldots,\init_{\preceq}(f_r)$ +engendrent $\init_{\preceq}(I)$. +\end{defn} -Bases de Gröbner. +A priori, rien ne dit que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent $I$. C'est +pourtant le cas : +\begin{prop} +Dans les conditions ci-dessus, on a $I = (f_1,\ldots,f_r)$. +\end{prop} +\begin{proof} +On a $I \supseteq (f_1,\ldots,f_r)$ puisque les $f_i$ sont supposés +dans $I$. Supposons maintenant qu'il n'y ait pas égalité. Soit $h +\in I$ un polynôme avec le monôme dans $\init(h)$ le plus petit +possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$. +Puisque $\init(h) \in \init(I)$, on peut écrire $\init(h) = g_1 +\init(f_1) + \cdots + g_r \init(f_r)$ par l'hypothèse faite sur +les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$). +D'après \ref{divisibilite-monomes}, ceci montre que $\init(h) = c s +\init(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante. On a +alors $s f_i \in I$, et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = \init(h)$, +donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme +strictement plus petit que $h$, donc par minimalité de ce dernier, $h +- c s f_i \in (f_1,\ldots,f_r)$. Mais alors $h \in (f_1,\ldots,f_r)$, +une contradiction. +\end{proof} + + + +% +% +% + +\section{TODO} Courbes et corps de dimension $1$. But : arriver à Riemann-Roch. |