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diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index 0e6ad18..b98417b 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -1451,9 +1451,12 @@ Si $k$ est un corps algébriquement clos : décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part. -\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes +\item Ces bijections mettent en correspondance les idéaux homogènes premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles de $\mathbb{P}^d$. +\item Si $I$ est un idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$ tel que + $Z(I) \neq \varnothing$ (i.e., qui n'est pas irrelevant) alors + $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical de $I$). \end{itemize} \end{thm} @@ -2041,6 +2044,75 @@ de plus : \end{itemize} \end{thm} +\medbreak + +Voici enfin un résultat qui permet, notamment avec les outils de la +section \ref{section-groebner-bases} (bases de Gröbner), de rendre +algorithmique le calcul des dimensions : + +\begin{thm} +\begin{itemize} +\item\textbf{Variante projective :} Soit $I$ un idéal homogène de + $k[t_0,\ldots,t_d]$. La fonction « de Hilbert-Samuel » qui à $\ell + \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace + vectoriel) $\dim_k k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}/I^{[\ell]} = + \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des + polynômes homogènes de degré $\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide + avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel ») pour $\ell$ suffisamment + grand : le degré de ce polynôme est exactement la dimension de la + variété $Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ définie par l'idéal $I$ (et en + particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel de $I$ et $\surd I$ ont + même degré). + +De plus, en anticipant sur les définitions de la +section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre +admissible $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel de $I$ coïncide +avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de monômes +de degré $\ell$ qui n'appartiennent pas à $\init_{\preceq}(I)$. (Ceci +permet de la calculer à partir d'une base de Gröbner de $I$.) + +\item\textbf{Variante affine :} Soit $I$ un idéal de + $k[t_1,\ldots,t_d]$. La fonction « de Hilbert-Samuel affine » qui à + $\ell \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace + vectoriel) $\dim_k k[t_1,\ldots,t_d]^{[\leq\ell]}/I^{[\leq\ell]} = + \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des + polynômes de degré total $\leq\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide + avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel affine ») pour $\ell$ + suffisamment grand : le degré de ce polynôme est exactement la + dimension de la variété $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ définie par + l'idéal $I$ (et en particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel + affine de $I$ et $\surd I$ ont même degré). + +De plus, en anticipant sur les définitions de la +section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre admissible +\emph{gradué} $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$ +coïncide avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de +monômes de degré $\leq\ell$ qui n'appartiennent pas +à $\init_{\preceq}(I)$. (Ceci permet de la calculer à partir d'une +base de Gröbner de $I$.) +\end{itemize} +\end{thm} + +\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$ (i.e., pour $I$ l'idéal nul), +le $k$-espace vectoriel $k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}$ des polynômes +homogènes de degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées a pour base les +monômes de degré (total) $\ell$, qui sont au nombre de +$\frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!}$. C'est là la fonction de Hilbert-Samuel +de $\mathbb{P}^d$ (c'est aussi la fonction de Hilbert-Samuel affine de +$\mathbb{A}^d$), et son terme dominant vaut $\frac{1}{d!}\,\ell^d$, ce +qui est cohérent avec le fait que $\mathbb{P}^d$ (ou $\mathbb{A}^d$) +est de dimension $d$. + +Si on considère maintenant le cercle $C^+ = Z(x^2+y^2-z^2)$ +dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo +$z^2$ peuvent se réduire en un polynôme de degré $\ell$ en $x,y$, plus +$z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ en $x,y$ : leur dimension est +donc $2\ell+1$ (une base est donnée par $x^\ell,\penalty100 +x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100 +x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$), +donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$. On voit ici que le +cercle est de dimension $1$. + % \subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism} @@ -2234,7 +2306,7 @@ fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$. % % -\section{Introduction aux bases de Gröbner} +\section{Introduction aux bases de Gröbner}\label{section-groebner-bases} (À part pour la proposition \ref{projection-by-elimination}, toute cette partie ne dépend que de la partie \ref{commutative-algebra} et @@ -2308,6 +2380,9 @@ $\preceq$ sur les monômes de ce dernier telle que : sont deux termes, pour signifier que leurs monômes vérifient $s \preceq s'$.) +Si de plus l'ordre vérifie la propriété que $\deg s < \deg s'$ +implique $s \preceq s'$, on dit qu'il est \textbf{gradué}. + \begin{prop}\label{properties-of-admissible-orders} Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors |