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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 3e9cca3..d9a0de0 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1985,7 +1985,9 @@ relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent $[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette -relation d'équivalence. +relation d'équivalence. On peut voir $\mathbb{P}^n(k)$ comme +l'ensemble des droites vectorielles (=passant par l'origine) +de $k^{n+1}$. Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme @@ -2077,10 +2079,39 @@ de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où $g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré $\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.) +(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque +$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé +\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{n+1}$ est un +\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties. L'ensemble $Z(I)$ +défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites +vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^n$.) + Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$ comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement, d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant -un ensemble de générateurs homogènes de $I$. +un ensemble de générateurs homogènes de $I$. Les $Z(I)$ s'appellent +les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^n$. Inversement, si $E$ est +une partie de $\mathbb{P}^n$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal +(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$ +s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq +E$). + +\begin{thm} +Si $k$ est un corps algébriquement clos : +\begin{itemize} +\item (Nullstellensatz faible projectif.) Pour $I$ un idéal homogène + de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans + $\mathbb{P}^n$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$ + contienne tous les monômes en $x_0,\ldots,x_n$ de degré total $\ell$ + (et, par conséquent, de tout degré plus grand). Un tel idéal + s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme]. +\item (Nullstellensatz projectif.) Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et + $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques, + décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux + de $k[x_0,\ldots,x_n]$ autres que $(x_0,\ldots,x_n)$ d'une part, et + les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^n(k)$ d'autre part. +\end{itemize} +\end{thm} % |