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diff --git a/controle-2010.tex b/controle-2010.tex new file mode 100644 index 0000000..72fe965 --- /dev/null +++ b/controle-2010.tex @@ -0,0 +1,150 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +% +\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} +\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} +\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} +\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\init}{\operatorname{in}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{MDI349\\Contrôle de connaissances --- Corrigé\\{\normalsize Géométrie algébrique}} +\else +\title{MDI349\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Géométrie algébrique}} +\fi +\author{} +\date{2010} +\maketitle + +% +% +% + +Dans ce qui suit, $k$ désigne un corps parfait de +caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer +qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ +ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions). + +\emph{La question 3 peut être traitée indépendamment des questions + précédentes.} + +\textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois +indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur +${\preceq} = {\preceq}_{\mathtt{lex}}$ sur les monômes, qui ordonne +les variables dans l'ordre $x \prec y \prec z$. Écrire dans l'ordre +croissant, pour cet ordre, les monômes $1$, $x$, $y$, $z$, $x^2$, +$y^2$, $z^2$, $x^2 z$, $x^4$. + +\textbf{2.} On considère dans l'anneau $k[x,y,z]$ l'idéal $I$ engendré +par les deux polynômes +\[ +\begin{array}{c} +f_1 = x^2 + y^2 + z^2 - 1\\ +f_2 = y^2 + (z-1)^2 - 1\\ +\end{array} +\] +(Si on préfère, $I$ définit la variété algébrique $Z(I)$ +dans $\mathbb{A}^3$ intersection de la sphère $Z(f_1)$ de centre +$(0,0,0)$ et de rayon $1$, et du cylindre $Z(f_2)$ d'axe $y=0,z=1$ et +de rayon $1$.) + +(a) Soit $f_3 = f_1 - f_2$. Expliquer pourquoi l'idéal engendré par +$f_1$ et $f_3$ est le même que celui ($I$) engendré par $f_1$ +et $f_2$. Quel est le reste (standard) de $f_3$ par rapport à +$f_1,f_2$ pour l'ordre monomial $\preceq$ ? Les polynômes $f_1,f_2$ +sont-ils une base de Gröbner (de l'idéal $I$) ? + +(b) Calculer le reste (standard) $f_4$ de $f_1 - \frac{1}{2} z f_3$ +par rapport à $f_1,f_3$ pour l'ordre monomial $\preceq$. Expliquer +pourquoi l'idéal engendré par $f_3$ et $f_4$ est le même que celui +engendré par $f_1$ et $f_3$. + +(c) Montrer qu'une base de Gröbner de $I$ pour l'ordre $\preceq$ est +donnée par +\[ +\begin{array}{c} +z + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\\\noalign{\smallskip} +y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\\ +\end{array} +\] +S'agit-il d'une base de Gröbner réduite ? + +(d) Quel est l'idéal $I \cap k[x,y]$ ? Donner l'équation de +l'adhérence de Zariski de la projection de la variété algébrique +affine $Z(I)$ sur le plan $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $x,y$. + +\textbf{3.} On considère maintenant la variété $C$ définie dans le +plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $x,y$ par l'équation +$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$. + +(a) Ce plan affine $\mathbb{A}^2$ étant vu dans le plan projectif +$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y += Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$ +(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$. + +(b) Pourquoi $C$ et $C^+$ sont-elles de dimension $1$ ? + +(c) Le polynôme $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a-t-il +des racines multiples dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ? +Pourquoi les racines en question peuvent-elles s'écrire +$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ (pour certains +$\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ? + +(d) Montrer que $C$ est lisse. Montrer que $C^+$ l'est aussi. + +(e) Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction rationnelle +sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de $dx/y$ ? En +conclure quant au genre de $C^+$. + + +% +% +% +\end{document} |