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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-17 16:01:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-17 16:01:39 (GMT)
commit1185cc9b91df9dcdbe1f5ec3b7a72b11ca6c89bf (patch)
tree363de69c7abb0208bb47901a8c39d38aac650ea3
parent88d7256c2cab78b96926dc2725bea575481bc25d (diff)
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-rw-r--r--controle-2010.tex150
1 files changed, 150 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-2010.tex b/controle-2010.tex
new file mode 100644
index 0000000..72fe965
--- /dev/null
+++ b/controle-2010.tex
@@ -0,0 +1,150 @@
+%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+%
+\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
+\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
+\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
+\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
+\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
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+\newcommand{\init}{\operatorname{in}}
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
+\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{MDI349\\Contrôle de connaissances --- Corrigé\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
+\else
+\title{MDI349\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
+\fi
+\author{}
+\date{2010}
+\maketitle
+
+%
+%
+%
+
+Dans ce qui suit, $k$ désigne un corps parfait de
+caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer
+qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
+ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions).
+
+\emph{La question 3 peut être traitée indépendamment des questions
+ précédentes.}
+
+\textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois
+indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur
+${\preceq} = {\preceq}_{\mathtt{lex}}$ sur les monômes, qui ordonne
+les variables dans l'ordre $x \prec y \prec z$. Écrire dans l'ordre
+croissant, pour cet ordre, les monômes $1$, $x$, $y$, $z$, $x^2$,
+$y^2$, $z^2$, $x^2 z$, $x^4$.
+
+\textbf{2.} On considère dans l'anneau $k[x,y,z]$ l'idéal $I$ engendré
+par les deux polynômes
+\[
+\begin{array}{c}
+f_1 = x^2 + y^2 + z^2 - 1\\
+f_2 = y^2 + (z-1)^2 - 1\\
+\end{array}
+\]
+(Si on préfère, $I$ définit la variété algébrique $Z(I)$
+dans $\mathbb{A}^3$ intersection de la sphère $Z(f_1)$ de centre
+$(0,0,0)$ et de rayon $1$, et du cylindre $Z(f_2)$ d'axe $y=0,z=1$ et
+de rayon $1$.)
+
+(a) Soit $f_3 = f_1 - f_2$. Expliquer pourquoi l'idéal engendré par
+$f_1$ et $f_3$ est le même que celui ($I$) engendré par $f_1$
+et $f_2$. Quel est le reste (standard) de $f_3$ par rapport à
+$f_1,f_2$ pour l'ordre monomial $\preceq$ ? Les polynômes $f_1,f_2$
+sont-ils une base de Gröbner (de l'idéal $I$) ?
+
+(b) Calculer le reste (standard) $f_4$ de $f_1 - \frac{1}{2} z f_3$
+par rapport à $f_1,f_3$ pour l'ordre monomial $\preceq$. Expliquer
+pourquoi l'idéal engendré par $f_3$ et $f_4$ est le même que celui
+engendré par $f_1$ et $f_3$.
+
+(c) Montrer qu'une base de Gröbner de $I$ pour l'ordre $\preceq$ est
+donnée par
+\[
+\begin{array}{c}
+z + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\\\noalign{\smallskip}
+y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\\
+\end{array}
+\]
+S'agit-il d'une base de Gröbner réduite ?
+
+(d) Quel est l'idéal $I \cap k[x,y]$ ? Donner l'équation de
+l'adhérence de Zariski de la projection de la variété algébrique
+affine $Z(I)$ sur le plan $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $x,y$.
+
+\textbf{3.} On considère maintenant la variété $C$ définie dans le
+plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $x,y$ par l'équation
+$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$.
+
+(a) Ce plan affine $\mathbb{A}^2$ étant vu dans le plan projectif
+$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y
+= Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$
+(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$.
+
+(b) Pourquoi $C$ et $C^+$ sont-elles de dimension $1$ ?
+
+(c) Le polynôme $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a-t-il
+des racines multiples dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ?
+Pourquoi les racines en question peuvent-elles s'écrire
+$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ (pour certains
+$\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ?
+
+(d) Montrer que $C$ est lisse. Montrer que $C^+$ l'est aussi.
+
+(e) Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction rationnelle
+sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de $dx/y$ ? En
+conclure quant au genre de $C^+$.
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}