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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 7e2b373..dfdecea 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2818,6 +2818,7 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? % \subsection{Vecteurs tangents et points lisses} +\label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} Si $X$ est une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement clos) $k$, on appelle \textbf{vecteur tangent} à $X$ un élément de @@ -4167,6 +4168,44 @@ k(h) \subseteq k(C)$. En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. \end{rmk} +\begin{prop} +Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes +sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de +ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement + que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à + l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de +$k^{\alg}$-espaces vectoriels de dimension $1$, +cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in + fine}). +\end{prop} + +\begin{prop} +Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes +sur $k$. Pour tout point $Q$ de $C$, on a +\[ +\sum_{h(P)=Q} e_P = \deg h +\] +où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$) +tels que $h(P) = Q$. +\end{prop} +\begin{proof}[Idée-clé de démonstration] +Soit $U$ un ouvert affine de $C$ contenant $Q$, et $U' = h^{-1}(U)$ +son image réciproque dans $C'$ (qui est également affine) ; on +considère la $k$-algèbre $\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q +\mathcal{O}(U')$ des fonctions sur $U'$ modulo l'idéal +$h^*\mathfrak{m}_Q$ engendré par les $h\circ f$ avec $f \in +\mathcal{O}(U)$ : on peut montrer que cette $k$-algèbre +$\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q \mathcal{O}(U')$ est un $k$-espace +vectoriel de dimension $\deg h$. Mais le lemme +d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette +algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P +\mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels +que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce +produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$. +\end{proof} + % |