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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index a43e760..d245760 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2413,7 +2413,7 @@ lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$. % -\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes} +\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms} Variété quasiprojective = ouvert d'une variété projective = intersection d'un ouvert et d'un fermé de $\mathbb{P}^d$. @@ -3743,9 +3743,11 @@ c'est-à-dire $(x_1,\ldots,x_d) \mapsto (x_1,\ldots,x_d)$) de $Z(I)$. \begin{defn} On appelle \textbf{courbe (projective lisse)} sur un corps $k$ une -variété algébrique projective lisse irréductible de dimension $1$ -sur $k$. Lorsque la variété n'est pas supposée lisse, on parle de -courbe « non nécessairement lisse ». +variété algébrique projective lisse géométriquement +irréductible\footnote{C'est-à-dire qu'elle est irréductible quand on + la voit sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.} de +dimension $1$ sur $k$. Lorsque la variété n'est pas supposée lisse, +on parle de courbe « non nécessairement lisse ». \end{defn} Les fermés de Zariski d'une courbe qui ne sont pas la courbe tout @@ -4585,11 +4587,18 @@ $1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K + $l(K-D) = 0$. \end{proof} +\textbf{Remarque :} Si $C$ est une courbe sur un corps $k$, alors le +genre de $C$ est égal au genre de $C_{k^{\alg}}$. En effet, un +diviseur canonique $K$ sur $C$ est encore un diviseur canonique quand +on le voit sur $C_{k^{\alg}}$, et son degré, censé valoir $2g-2$ est +le même qu'on le voie d'une façon ou d'une autre. On dit que le genre +est un \emph{invariant géométrique}. + S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$. La réciproque est vraie : \begin{cor} -Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ : alors $C$ est isomorphe -à $\mathbb{P}^1$. +Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ sur un corps algébriquement +clos : alors $C$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$. \end{cor} \begin{proof} Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch @@ -4603,6 +4612,29 @@ Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}). \end{proof} +\emph{Remarque :} Cette démonstration utilise le fait que $k$ est +algébriquement clos pour pouvoir fabriquer le diviseur $(P)-(Q)$ comme +différence de deux diviseurs de degré $1$. En fait, on peut faire +mieux : il suffit que $C(k)$ soit non-vide (démonstration : si $P \in +C(k)$, Riemann-Roch appliqué au diviseur $(P)$ montre que $l((P)) = +2$, donc il existe une fonction $f$ non-constante, admettant au plus +un pôle simple en $P$, donc admettant effectivement un pôle simple +en $P$ d'après \ref{basic-ord-facts}, et du coup $\divis(f)$, qui doit +être de degré $0$, est de la forme $(P) - (Q)$, et le reste est comme +ci-dessus). On ne peut pas se dispenser de cette hypothèse $C(k) \neq +\varnothing$ : si $C$ est la conique\footnote{En fait, on peut montrer + que toute courbe de genre $0$ peut s'écrire comme une conique + plane.} d'équation projective $t_0^2 + t_1^2 + t_2^2 = 0$ dans +$\mathbb{P}^2$ sur les réels, qui a $C(\mathbb{R}) = \varnothing$, +alors $C$ a pour genre $0$ car le genre est un invariant géométrique +(cf. ci-dessus) et que, sur les complexes, cette conique est isomorphe +au cercle (quitte à changer $t_0$ en $i t_0$) donc à $\mathbb{P}^1$ +(cf. introduction et exemples +de \ref{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}). +Pourtant, $C$ \emph{n'est pas} isomorphe à $\mathbb{P}^1$ sur les +réels, précisément parce que $C(\mathbb{R}) = \varnothing$ alors que +$\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \neq \varnothing$ ! + \begin{cor} Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout entier est affine. (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte |