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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 80d4a7b..9a702d0 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2512,6 +2512,28 @@ morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est dense), et le calcul est alors simplifié. +\smallbreak + +¶ Appelons maintenant $C^\sharp$ la variété d'équations $x_0 x_2 = +x_1^2, \penalty-100\; x_1 x_3 = x_2^2, \penalty-100\; x_0 x_3 = x_1 +x_2$ dans $\mathbb{P}^3$ de coordonnées homogènes $(x_0:x_1:x_2:x_3)$, +et considérons le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées homogènes $(t_0:t_1)$. +On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^\sharp$ par $(t_0:t_1) +\mapsto (t_0^3: t_0^2 t_1: t_0 t_1^2: t_1^3)$ : ceci définit bien un +morphisme vers $\mathbb{P}^3$ car l'idéal engendré par $(t_0^3, t_0^2 +t_1, t_0 t_1^2, t_1^3)$ est irrelevant (ce sont tous les monômes de +degré $3$ !), et il tombe bien dans $C^\sharp$ car $(t_0^3, t_0^2 t_1, +t_0 t_1^2, t_1^3)$ vérifient les équations de $C^\sharp$. + +Réciproquement, définissons un morphisme $C^\sharp \to \mathbb{P}^1$ : +il sera donné par les équations $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_0:x_1)$ +et $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_2:x_3)$. Le fait que ces équations se +recollent bien est assuré par l'équation $x_0 x_3 = x_1 x_2$ +sur $C^\sharp$ ; le morphisme est alors défini sur tout $C^\sharp$ +puisque $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ engendrent un idéal irrelevant. De +nouveau, on peut vérifier que la composée dans les deux sens est +l'identité. + % |