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\begin{document}
\title{Géométrie algébrique}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{MDI349}}


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%
%

\section*{Introduction / motivations}

Qu'est-ce que la géométrie algébrique ?  En condensé :
\begin{itemize}
\item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations
  polynomiales dans un corps ou un anneau commutatif quelconque, ou
  des objets apparentés.  (Étudier = étudier leur existence, les
  compter, les paramétrer, les relier, définir une structure dessus,
  etc.)
\item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des
  objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace
  affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des
  concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités,
  etc.).
\item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les
  fonctions définies dessus, qui sont des anneaux commutatifs tout à
  fait généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux
  commutatifs et de leurs idéaux).
\end{itemize}

\smallbreak

Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps
algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique
complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ :
géométrie algébrique réelle).  Problèmes \emph{arithmétiques} = sur
des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ :
géométrie arithmétique), ou des anneaux commutatifs plus gé\-né\-raux
(e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »).

Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$),
calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse
complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres
(sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc.

\smallbreak

\textbf{Un exemple :} Pour tout anneau commutatif $k$, on définit
$C(k) = \{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$.  Interprétation géométrique :
ceci est un cercle !  Il est plongé dans le « plan affine »
$\mathbb{A}^2$ défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout
anneau $k$.

\begin{itemize}
\item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle,
  au sens naïf.
\item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une
  surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux
  points.)
\item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut
  montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$
  ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$).
\item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver
  des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$.  Un exemple :
  $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...).
\end{itemize}

Paramétrage des solutions :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25);
\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (1,-1.15) -- (1,1.15);
\coordinate (P) at (0.8,0.6);
\coordinate (Q) at (1,0.6666666667);
\draw (0.8,0) -- (P);
\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q);
\fill[black] (P) circle (.5pt);
\fill[black] (Q) circle (.5pt);
\fill[black] (-1,0) circle (.5pt);
\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$};
\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$};
\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant
$\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$),
valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait
tout anneau commutatif dans lequel $2$ est
inversible\footnote{C'est-à-dire, une
  $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] =
  \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$).

\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point
$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le
corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci
permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions
sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur
$\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un
« morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$
vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$).

On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les
points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau commutatif $k$ : si $(x,y)
\in C(k)$ et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star
(x',y') = (x'',y'')$ par
\[
\left\{\begin{array}{c}
x'' = xx'-yy'\\
y'' = xy'+yx'\\
\end{array}\right.
\]
(cf. les formules exprimant
$\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de
$\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$).  Élément
neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$.

(Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver
ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur
$\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)

\emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau commutatif
$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le
cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes
  trigonométriques ».  Tout élément de l'anneau commutatif
$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs
dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$.  On verra aussi plus loin
qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux
commutatif $\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$.


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%

\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}\label{commutative-algebra}

\subsection{Anneaux réduits, intègres}\label{subsection-reduced-and-integral-rings}

Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont
commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il existe un unique
anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un seul élément,
appelé l'\textbf{anneau nul}.

Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de
l'algèbre).  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément
de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in
A$).

\smallbreak

Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x =
0$.  En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un
certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}.

Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique
$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau).  En
général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel
que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}.

Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ =
élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$.  L'ensemble
$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un
\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$.  Un
\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$.

Tout corps est un anneau intègre.  Tout anneau intègre est un anneau
réduit.

\smallbreak

On rappelle qu'un \textbf{idéal} d'un anneau est un sous-groupe
additif $I$ de $A$ tel que $AI \subseteq I$.  Si $(x_i)_{i\in
  \Lambda}$ sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les
idéaux contenant les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal
\textbf{engendré} par les $x_i$ : c'est l'ensemble des toutes les
combinaisons linéaires $a_1 x_{i_1} + \cdots + a_n x_{i_n}$ avec
$a_1,\ldots,a_n \in A$ et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.  Lorsque
$\Lambda$ est fini : l'idéal $I$ engendré par $x_1,\ldots,x_n$ est
l'ensemble des toutes les combinaisons linéaires $a_1 x_1 + \cdots +
a_n x_n$ et il peut se noter $Ax_1 + \cdots + Ax_n$ ou parfois
$(x_1,\ldots,x_n)$ : on dit que $I$ est un idéal \textbf{de type
  fini}.  Si $I$ peut être engendré par un seul élément, $I = Ax$
(aussi noté $(x)$), on dit que $I$ est un idéal \textbf{principal}.

Idéal nul $(0) = \{0\}$.  Idéal plein ou idéal unité $A$ : un élément
$x$ est inversible ssi l'idéal $(x)$ qu'il engendre est l'idéal unité.

\smallbreak

Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq
A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec
$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit
$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$).  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$
soit un corps.

Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq
A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in
\mathfrak{p}$.  Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$
tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre.

Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel
que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
soit réduit.

\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal
(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a
  fortiori} premier et radical.  L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est
premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} =
\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps).  L'idéal
$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier.
L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical.

\smallbreak

Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal.  Un anneau est
intègre ssi son idéal $(0)$ est premier.  Un anneau est réduit ssi son
idéal $(0)$ est radical.

Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal.
(En particulier, un corps est un anneau local.)  Le quotient d'un
anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps
  résiduel}.  \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la
forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un
anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des
$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair.  (Quel est le corps résiduel ?)

\smallbreak

On admet le résultat ensembliste suivant :
\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]
Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal
pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec
$I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$).
\end{lem}

\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
un idéal maximal.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
de conclure.
\end{proof}

\begin{prop}
Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical (intersection des idéaux radicaux).
Cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.
On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.
\end{prop}
\begin{proof}
L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors
$(x+y)^{2n}=0$ en développant.  Il est inclus dans tout idéal radical,
et il est visiblement lui-même radical : c'est donc le plus petit
idéal radical.  Étant inclus dans tout idéal radical, il est \textit{a
  fortiori} inclus dans tout idéal premier.  Reste à montrer que si
$z$ est inclus dans tout idéal premier, alors $x$ est nilpotent.

Supposons que $z$ n'est pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$ un
idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
\mathfrak{p}$.
\end{proof}

En appliquant ce dernier résultat à $A/I$, on obtient :
\begin{prop}
Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.
On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd
I$.
\end{prop}

L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
strictement plus grand que le nilradical.

Notons aussi la conséquence facile suivante de la
proposition \ref{existence-maximal-ideals}.
\begin{prop}\label{non-invertible-elements-and-maximal-ideals}
Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la
réunion de tous les idéaux maximaux.
\end{prop}
\begin{proof}
Dire que $x$ est inversible signifie que $x$ engendre l'idéal unité.
Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en
particulier aucun idéal maximal.  Réciproquement, si $x$ n'est pas
inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans
un idéal maximal $\mathfrak{m}$
d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x$ est bien dans la
réunion des idéaux maximaux.
\end{proof}

%
\subsection{Anneaux noethériens}

Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les
proprités équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1
  \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne
  (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ;
\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille
  \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme
  idéal ;
\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille
  $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$
  qui engendre le même idéal $I$.
\end{itemize}

L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas,
auxquels on aura affaire) sont noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est
noethérien.  Tout corps est un anneau noethérien.  Tout quotient d'un
anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un
sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien).  Et
surtout :
\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $A$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal.  Supposons par l'absurde que $I$
n'est pas de type fini.  On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.

Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $A$ est
supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
contradiction).

On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
de $f_m$.
\end{proof}

En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :

\begin{defn}\label{finite-type-algebras}
Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
A[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{defn}

Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par
$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon
A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est
\emph{surjectif}.  Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce
morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui
s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme
$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$.  On peut donc dire :
une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$
(pour un certain $d$).

\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
\end{cor}

%
\subsection{Localisation}\label{subsection-localization}

On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative}
lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$.  Par exemple, le
complémentaire d'un idéal premier est, par définition,
multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble
des éléments non nuls est une partie multiplicative.

Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou
$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec
$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie\footnote{Ce racourci de langage
  signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur
  $A\times S$ définie par $(a,s) \sim (a',s')$ lorsqu'il existe $t \in
  S$ tel que $t(a's-as') = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$ le quotient
  $(A\times S)/\sim$, et on note $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette
  relation ; il faudrait encore vérifier que toutes les opérations
  proposées ensuite sont bien définies.} $a/s = a'/s'$ lorsqu'il
existe $t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par
$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto
a/1$.  On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie
multiplicative $S$.  Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain
anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
naturel $A \to A[S^{-1}]$).

\begin{prop}\label{properties-localization}
\begin{itemize}
\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
  injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
  (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est
  l'anneau nul.)
\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] :=
  \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque
  dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de
  l'idéal $J$ considéré.
\item L'application $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
  définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
  ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
\end{itemize}
\end{prop}

Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S =
A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note
$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal
maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$
\textbf{en} $\mathfrak{p}$.  Si $A$ est un anneau intègre et $S = A
\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des
  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.

Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$
(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives
contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits
possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement
$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma =
\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$, on note
$A[\sigma_1^{-1},\ldots,\sigma_n^{-1}]$ ou
$A[\frac{1}{\sigma_1},\ldots,\frac{1}{\sigma_n}]$.

\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element}
Si $A$ est un anneau et $\sigma_1,\ldots,\sigma_n \in A$, alors
\begin{itemize}
\item L'anneau $A[\frac{1}{\sigma_1},\ldots,\frac{1}{\sigma_n}]$
  s'identifie à $A[\frac{1}{f}]$ où $f = \sigma_1\cdots\sigma_n$.
\item De plus, $A[\frac{1}{f}] \cong A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est
  l'anneau des polynômes en une indéterminée), par un isomorphisme
  envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la classe de $a z^n$
\end{itemize}
\end{prop}


%
%
%

\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos}

Dans cette section, $k$ sera un corps algébriquement clos.

On appelle \textbf{espace affine de dimension $d$} sur $k$
l'ensemble $k^d$ (on parle de droite ou plan affine lorsque $d=1,2$).
Il sera aussi parfois noté $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{A}^d(k)$ pour
des raisons qui apparaîtront plus loin.

%
\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}

\textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de
  $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?}

Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un
ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0
(\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$.

Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors
$Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est
« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) =
\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un racourci de
notation pour $Z(\{f\})$).  Plus intéressant : si $I$ est l'idéal
engendré par $\mathscr{F}$ alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$.  On peut
donc se contenter de regarder les $Z(I)$ avec $I$ idéal
de $k[t_1,\ldots,t_d]$.  Encore un peu mieux : si $\surd I = \{f :
(\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le radical de l'idéal $I$, on a
$Z(\surd I) = Z(I)$ ; on peut donc se contenter de considérer les
$Z(I)$ avec $I$ idéal radical.

On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$ une partie $E$ de la
forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il
s'agit d'un idéal radical.

Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble
$k^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$).  Tout
singleton est un fermé de Zariski : en effet, $Z(\mathfrak{m}_x) =
\{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ ;
remarquer que $\mathfrak{m}_x$ est un idéal maximal, le quotient
$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}_x$ s'identifiant à $k$ par la fonction
$f \mapsto f(x)$ d'évaluation en $x$.

Si $(E_i)_{i\in \Lambda}$ sont des fermés de Zariski, alors
$\bigcap_{i\in \Lambda} E_i$ est un fermé de Zariski : plus
précisément, si $(I_i)_{i\in \Lambda}$ sont des idéaux
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(\sum_{i\in\Lambda} I_i) =
\bigcap_{i\in\Lambda} Z(I_i)$.  Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski,
alors $E \cup E'$ est un fermé de Zariski : plus précisément, si
$I,I'$ sont des idéaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(I\cap I') =
Z(I) \cup Z(I')$ (l'inclusion $\supseteq$ est évidente ; pour l'autre
inclusion, si $x \in Z(I\cap I')$ mais $x \not\in Z(I)$, il existe
$f\in I$ tel que $f(x) \neq 0$, et alors pour tout $f' \in I'$ on a
$f(x)\,f'(x) = 0$ puisque $ff' \in I\cap I'$, donc $f'(x) = 0$, ce qui
prouve $x \in Z(I')$).

\medbreak

\textbf{Comment associer un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ à une partie
  de $k^d$ ?}

Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note
$\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$.  Vérification
facile : c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
radical.  Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors
$\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) =
\bigcap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal
maximal $\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en
particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq
\varnothing$.

On a de façon triviale $\mathfrak{I}(\varnothing) =
k[t_1,\ldots,t_d]$.  De façon moins évidente, si $k$ est infini (ce
qui est en particulier le cas lorsque $k$ est algébriquement clos), on
a $\mathfrak{I}(k^d) = (0)$ (démonstration par récurrence sur $d$,
laissée en exercice).

\danger Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, on a
$\mathfrak{I}({\mathbb{F}_q}^d) \neq (0)$.  Par exemple, si $t$ est
une des in\-dé\-ter\-mi\-nées, le polynôme $t^q-t$ s'annule en tout
point de ${\mathbb{F}_q}^d$.

\medbreak

\textbf{Le rapport entre ces deux fonctions}

On a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq
\mathfrak{I}(E)$, puisque les deux signifient « tout polynôme dans
  $\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ ».

En particulier, en appliquant cette remarque à $\mathscr{F} =
\mathfrak{I}(E)$, on a $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute
partie $E$ de $k^d$ ; et en appliquant la remarque à $E =
Z(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq
\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$.  De $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ on
déduit $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$
(car $\mathfrak{I}$ est décroissante), mais par ailleurs
$\mathfrak{I}(E) \subseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ en
appliquant l'autre inclusion à $\mathfrak{I}(E)$ : donc
$\mathfrak{I}(E) = \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ pour toute partie
$E$ de $k^d$ ; de même, $Z(\mathscr{F}) =
Z(\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de
polynômes.  On a donc prouvé :

\begin{prop}
Avec les notations ci-dessus :
\begin{itemize}
\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ si et
  seulement si elle est de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un
  certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas
  on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal
  radical.
\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I =
  \mathfrak{I}(Z(I))$ si et seulement si elle est de la forme
  $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
  prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical
  de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
\item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des
  bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des fermés
  de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des idéaux (radicaux) $I$
  de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$.
\end{itemize}
\end{prop}

On va voir ci-dessous que les idéaux tels que $I = \mathfrak{I}(Z(I))$
sont exactement (tous) les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$.

\medbreak

\textbf{Fermés irréductibles et idéaux premiers}

On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est
\textbf{irréductible} lorsqu'on ne peut pas écrire $E = E' \cup E''$,
où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski (forcément contenus
dans $E$...), sauf si $E'=E$ ou $E''=E$.

\emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de
coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 :
x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est
réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits
que $Z(xy)$.

\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal}
Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et
seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons $\mathfrak{I}(E)$ premier : on veut montrer que $E$ est
irréductible.  Supposons $E = E' \cup E''$ comme ci-dessus (on a vu
que $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, $E' = Z(\mathfrak{I}(E'))$ et $E'' =
Z(\mathfrak{I}(E''))$) : on veut montrer que $E' = E$ ou $E'' = E$.
Supposons le contraire, c'est-à-dire $\mathfrak{I}(E) \neq
\mathfrak{I}(E')$ et $\mathfrak{I}(E) \neq \mathfrak{I}(E'')$.  Il
existe alors $f' \in \mathfrak{I}(E') \setminus \mathfrak{I}(E)$ et
$f'' \in \mathfrak{I}(E'') \setminus \mathfrak{I}(E)$.  On a alors
$f'f'' \not\in \mathfrak{I}(E)$ car $\mathfrak{I}(E)$ est premier, et
pourtant $f'f''$ s'annule sur $E'$ et $E''$ donc sur $E$, une
contradiction.

Réciproquement, supposons $E$ irréductible : on veut montrer que
$\mathfrak{I}(E)$ est premier.  Soient $f',f''$ tels que $f'f'' \in
\mathfrak{I}(E)$ : posons $E' = Z(\mathfrak{I}(E) + (f'))$ et $E'' =
Z(\mathfrak{I}(E) + (f''))$.  On a $E' \subseteq E$ et $E'' \subseteq
E$ puisque $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, et en fait $E' = E \cap Z(f')$ et
$E'' = E \cap Z(f'')$ ; on a par ailleurs $E = E' \cup E''$ (car si $x
\in E$ alors $f'(x)\,f''(x) = 0$ donc soit $f'(x)=0$ soit $f''(x)=0$,
et dans le premier cas $x \in E'$ et dans le second $x \in E''$).
Puisqu'on a supposé $E$ irréductible, on a, disons, $E' = E$,
c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in
\mathfrak{I}(E)$.  Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
\end{proof}

%
\subsection{Le Nullstellensatz}

(Nullstellensatz, littéralement, « théorème du lieu d'annulation », ou
« théorème des zéros de Hilbert ».)

On rappelle que $k$ est algébriquement clos !  (Pour l'instant, cela
n'a pas beaucoup servi.)

\begin{prop}[Nullstellensatz faible]
Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Si $I$ est un idéal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $Z(I) = \varnothing$, alors $I =
k[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{prop}
\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.]
Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$.  Alors il
existe un idéal maximal $\mathfrak{m}$ tel que $I \subseteq
\mathfrak{m}$, et on a $Z(\mathfrak{m}) \subseteq Z(I)$.  On va
montrer $Z(\mathfrak{m}) \neq \varnothing$.

Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$.  Il s'agit d'un corps, qui
est de dimension au plus dénombrable (=il a une famille génératrice
dénombrable, à savoir les images des monômes dans les $t_i$) sur $k$.
Mais $K$ ne peut pas contenir d'élément transcendant $\tau$ sur $k$
car, $k$ ayant été supposé indénombrable, la famille des
$\frac{1}{\tau - x}$ pour $x\in k$ serait linéairement indépendante
(par décomposition en élément simples) dans $k(\tau)$ donc dans $K$.
Donc $K$ est algébrique sur $k$.  Comme $k$ était supposé
algébriquement clos, on a en fait $K=k$.  Les classes des
indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent alors des éléments
$x_1,\ldots,x_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{m}$, on a
$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$.  Autrement dit, $(x_1,\ldots,x_d) \in
Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut.
\end{proof}

En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le
cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) :
\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}
Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Tout idéal maximal
$\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$
pour un certain $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$.
\end{prop}
\begin{proof}
En fait, on a prouvé que si $\mathfrak{m}$ est un idéal maximal, il
existe $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$ tels que $(x_1,\ldots,x_d) \in
Z(\mathfrak{m})$, ce qui donne $\mathfrak{m} \subseteq
\mathfrak{I}(\{(x_1,\ldots,x_d)\})$, mais par maximalité de
$\mathfrak{m}$ ceci est en fait une égalité.
\end{proof}

En particulier, le corps quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ est
isomorphe à $k$, l'isomorphisme étant donnée par l'évaluation au point
$(x_1,\ldots,x_d)$ tel que ci-dessus.

\begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert]
Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (toujours avec $k$ un corps
algébriquement clos) : alors $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le
radical de $I$).
\end{thm}
\begin{proof}
On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit de
montrer la réciproque.  Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut
prouver $f\in \surd I$.  On vérifie facilement que ceci revient à
montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$
de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité.  Or
$k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
d'après \ref{localization-inverting-one-element}.  Soit $J$ l'idéal
engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que
$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir
simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$,
donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ :
ceci donne $I[\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
\end{proof}

\begin{scho}
Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto
Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections
réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux
de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$
d'autre part.

Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons)
de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$), et les
\emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
premiers.
\end{scho}

%
\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski}

Si $X$ est un fermé de Zariski dans $k^d$ avec $k$ algébriquement
clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des
polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$.  Le quotient
$k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi
$X$ est irréductible) s'appelle l'\textbf{anneau des fonctions
  régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$ (ou parfois $k[X]$).

Pourquoi fonctions régulières ?  On peut considérer un élément $f \in
\mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si
$\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$
(modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde
f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant
$f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler
$f(x)$ cette valeur.  Inversement, un $f \in \mathcal{O}(X)$ est
complètement déterminé par sa valeur sur chaque point $x$ de $X$
(rappel : $k$ est algébriquement clos ici, et c'est important !) ; en
effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X$, tout élément de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x \in X$,
c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui signifie justement
$f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$.  Moralité : on peut bien considérer les
éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.  Ces fonctions sont,
tout simplement, \emph{les restrictions à $X$ des fonctions
  polynomiales sur l'espace affine $\mathbb{A}^d$}.

Dans le cas où $X = \mathbb{A}^d = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$),
évidemment, $\mathcal{O}(\mathbb{A}^d) = k[t_1,\ldots,t_d]$.

\smallbreak

On définit un \textbf{fermé de Zariski de $X$} comme un fermé de
Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$.  La bonne
nouvelle est que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et
idéaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ se généralise presque mot pour mot à une
correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux
de $\mathcal{O}(X)$ :

\begin{prop}
Avec les notations ci-dessus :
\begin{itemize}
\item Tout fermé de Zariski de $X$ est de la forme $Z(\mathscr{F}) :=
  \{x\in X :\penalty0 {(\forall f\in \mathscr{F})}\penalty100\, f(x) =
  0\}$ pour un certain ensemble $\mathscr{F}$ d'éléments
  de $\mathcal{O}(X)$.
\item En posant $\mathfrak{I}(E) := \{f\in \mathcal{O}(X) :\penalty0
  {(\forall x\in E)}\penalty100\, f(x)=0\}$, les fonctions $I \mapsto
  Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections
  réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux
  radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de Zariski de
  $X$ d'autre part : on a $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ pour tout
  idéal $I$ de $\mathcal{O}(X)$.
\item Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les
  singletons) de $X$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
  $\mathcal{O}(X)$ (qui sont donc tous de la forme $\mathfrak{m}_x :=
  \{f \in \mathcal{O}(X) : f(x)=0\}$ pour un $x\in X$) ; et les
  \emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux
  premiers.
\end{itemize}
\end{prop}

\smallbreak

Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$
(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal radical
de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X)
\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to
\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction
régulière $f$ sur $X$ sur sa \emph{restriction} à $X'$, parfois
notée $f|_{X'}$.

%
\subsection{Variétés algébriques affines, morphismes}

On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
$X$ de $k^d$.  Pourquoi cette double terminologie ?  Le terme « fermé
  de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongé dans l'espace
affine $\mathbb{A}^d$.  Le terme de « variété algébrique affine »
insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de
Zariski et de ses propres fonctions régulières, qu'on va maintenant
présenter.  On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau
$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, qui coïncide avec
l'ensemble des fonctions $X \to k$ qui sont restrictions de fonctions
polynomiales sur $k^d$.

On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} sur $k$
entre un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y
\subseteq k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$
coordonnées à l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$.
Autrement dit, il s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$
de $\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout
$x \in X$.
\begin{prop}
Si $X = Z(I) \subseteq k^d$ et $Y = Z(J) \subseteq k^e$, et si
$(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$, alors $f = (f_1,\ldots,f_e)$
définit un morphisme $X\to Y$ (autrement dit $(f_1(x),\ldots,f_e(x))
\in Y$ pour tout $x \in X$) \emph{si et seulement si}
$h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ (vu comme élément de $\mathcal{O}(X)$) pour
tout $h \in J$.
\end{prop}
\begin{proof}
Il y a équivalence entre :
\begin{itemize}
\item $h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ dans $\mathcal{O}(Y)$ pour tout $h \in J$,
\item $h(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $h \in J$ et $x \in X$, et
\item $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x \in X$.
\end{itemize}
(L'équivalence entre les deux premières affirmations vient du fait que
pour $g\in \mathcal{O}(X)$, ici $g = h(f_1,\ldots,f_e)$, on a $g=0$ si
et seulement si $g(x)=0$ pour tout $x\in X$.  L'équivalence entre les
deux dernières vient du fait que $(y_1,\ldots,y_e) \in Y$ si et
seulement si $h(y_1,\ldots,y_e) = 0$ pour tout $h \in J$ par
définition de $Y = Z(J)$.)
\end{proof}

Remarquons en particulier que les fonctions régulières sur $X$
(c'est-à-dire les éléments de $\mathcal{O}(X)$) peuvent se voir comme
des morphismes $X \to \mathbb{A}^1$ de $X$ vers la droite affine.

Remarquons par ailleurs que les morphismes de variétés algébriques se
composent : donnés deux morphismes $X \to Y$ et $Y \to Z$, on peut
définir un morphisme $X \to Z$ en composant les applications.

Lorsque $f \colon X \to Y$ est un morphisme comme ci-dessus, on
définit $f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ de la façon
suivante : si $h \in \mathcal{O}(Y)$ est une fonction régulière vue
comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$, on définit $f^*(h) \in
\mathcal{O}(X)$ comme la fonction régulière donnée par le morphisme
composé $h\circ f \colon X \to \mathbb{A}^1$.  (Autrement dit, $f^*$
est l'application de composition à droite par $f$.)

\begin{prop}
Si $X \subseteq \mathbb{A}^d$ et $Y \subseteq \mathbb{A}^e$ sont deux
variétés algébriques affines, la correspondance $f \mapsto f^*$
définie ci-dessus définit une bijection entre les morphismes $X \to Y$
de variétés algébriques affines et les morphismes $\mathcal{O}(Y) \to
\mathcal{O}(X)$ de $k$-algèbres.
\end{prop}
\begin{proof}
Si les indéterminées $u_1,\ldots,u_e$ sont les $e$ coordonnées sur
$\mathbb{A}^e$, alors les classes de $u_1,\ldots,u_e$ définissent des
éléments de $\mathcal{O}(Y)$ : si $f \colon X \to Y$ est un morphisme
de variétés algébriques, alors les fonctions $f_1,\ldots,f_e \in
\mathcal{O}(X)$ le définissant sont simplement les images par $f^*$ de
ces éléments.  Ceci montre que $f^*$ permet de retrouver $f$ (la
correspondance $f \mapsto f^*$ est injective).  Et si $\psi \colon
\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ est un morphisme quelconque, alors
en définissant $f_1,\ldots,f_e$ comme les images de $u_1,\ldots,u_e
\in \mathcal{O}(Y)$ par $\psi$, on a $h(f_1,\ldots,f_e) = 0$ dans
$\mathcal{O}(Y)$ pour tout $h \in J$ (puisque $h(u_1,\ldots,u_e) = 0$
dans $\mathcal{O}(Y)$) donc $f_1,\ldots,f_e$ définissent bien un
morphisme $X \to Y$.
\end{proof}

\smallbreak

Une fois qu'on dispose de cette notion de morphisme, on peut par
exemple dire que deux variétés algébriques affines $X,Y$ sont
\textbf{isomorphes} lorsqu'il existe des morphismes $X \to Y$ et $Y
\to X$ dont la composée chaque sens est l'identité.  Ceci signifie,
tout simplement, que les $k$-algèbres $\mathcal{O}(X)$ et
$\mathcal{O}(Y)$ sont isomorphes.

Ceci justifie partiellement la différence de terminologie entre
« fermé de Zariski » (dans $k^d$) et « variété algébrique affine »
(sur $k$) : dans le premier cas, on insiste sur $X$ en tant que partie
de $k^d$, tandis que dans le second cas on la considère \emph{à
  isomorphisme près} de variété algébrique affine (sur $k$).

Pour souligner qu'on parle de l'ensemble des points de $X$, plutôt que
de $X$ comme variété algébrique affine, on écrit parfois $X(k)$.

\smallbreak

\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$,
c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des
polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement
clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.  On a
$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) =
k[t]$.  On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
x^3$.  Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
l'image de $f^*$.  Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
bijection au niveau des $k$-points.

Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine)
d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp =
Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$.  On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to
C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme
est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto
z$.  L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100
y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$.  Par ailleurs, le morphisme
$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme
la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la
projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$.

Sur le cercle $C = Z(x^2+y^2-1)$ (pas le même $C$ que dans les deux
paragraphes précédents), si $k$ est de caractéristique $\neq 5$, on
peut définir le morphisme $C \to C$ de « rotation
  d'angle $\arctan\frac{3}{4}$ » (terminologie abusive si $k$ n'est
pas un corps contenant $\mathbb{R}$) ou « multiplication par le
  point $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ » par $(x,y) \mapsto (\frac{4}{5}x
- \frac{3}{5}y, \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y)$.  C'est un isomorphisme
de $C$ avec lui-même.  On pourrait définir l'opération de composition
$C \times C \to C$ par $((x,y),(x',y')) \mapsto (xx'-yy', xy'+yx')$
mais il faudrait pour cela avoir défini le produit de deux variétés
(pour donner un sens à $C \times C$), ce qu'on n'a pas encore fait.

\medbreak

\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une
  algèbre.}

\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines)
sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de
Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$
dans lequel ils vivent.  Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$
décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite,
mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$
puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe.  Ou, si on préfère, un
fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété
algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci
dans $\mathbb{A}^d$.

Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on
rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$
est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments
$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient
de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier)
et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau
$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le
$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations
$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$.  Cette variété
est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que
$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$
sont isomorphes, justement).  On peut donc donner un nom à $X$ : c'est
le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$.  (Par exemple, $\Spec k[t]
= \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] =
\mathbb{A}^d_k$.  Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point.  Quant
à l'ensemble vide, c'est $\Spec 0$ où $0$ est l'anneau nul.)

Abstraitement, on peut donc dire que les variétés algébriques affines
sont les $\Spec R$ pour $R$ une $k$-algèbre réduite de type fini.

%
\subsection{La topologie de Zariski}

On appelle \textbf{ouvert de Zariski} dans $k^d$ (toujours avec $k$ un
corps algébriquement clos) le complémentaire d'un fermé de Zariski.
Autrement dit, si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit
$U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 (\exists f\in I)\,
f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le complémentaire de $Z(I)$ : un ouvert de
Zariski de $k^d$ est un ensemble de la forme $U(I)$.  Plus
généralement, si $X$ est une variété algébrique affine, si $I$ est un
idéal de $\mathcal{O}(X)$, on définit $U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in X
:\penalty0 (\exists f\in I)\, f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le
complémentaire de $Z(I)$ : on appelle ces ensembles ouverts de Zariski
de $X$.

Étant donné qu'une intersection quelconque ou une réunion finie de
fermés sont des fermés, dualement, \emph{une réunion quelconque ou une
  intersection finie d'ouverts sont des ouverts} (par ailleurs,
l'ensemble vide et l'ensemble plein sont des ouverts) --- ces
propriétés sont constitutives de la notion de \emph{topologie}, en
l'occurrence la \textbf{topologie de Zariski} (sur l'ensemble $k^d$ ou
$X(k)$).

\smallbreak

Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, alors les fermés et ouverts de
Zariski de $X'$ sont précisément les intersections avec $X'$ des
fermés et ouverts de Zariski de $X$.  (On dit que la topologie de $X'$
est \emph{induite} par celle de $X$.)

\smallbreak

Si $I$ est engendré par les éléments $f_1,\ldots,f_r$, on peut écrire
$U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est
l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas.  Les $D(f)$ s'appellent parfois
\emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de
les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former
une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une
réunion d'une sous-famille d'entre eux).

\begin{prop}\label{covering-by-principal-open-sets}
Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$
(pour $i \in \Lambda$ disons), alors $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) =
X$ si et seulement si les $f_i$ engendrent l'idéal unité
dans $\mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire ssi il existe des $g_i$, tous nuls
sauf un nombre fini, tels que $\sum_{i\in\Lambda} g_i f_i = 1$).
\end{prop}
\begin{proof}
Dire $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) = X$ équivaut à
$\bigcap_{i\in\Lambda} Z(f_i) = \varnothing$, c'est-à-dire encore
$Z(\{f_i\}) = \varnothing$, soit encore $Z(I) = \varnothing$ où $I$
est l'idéal engendré par les $f_i$, et l'énoncé découle du
Nullstellensatz faible.
\end{proof}

On aura besoin pour la suite de remarquer que $D(f) \cap D(f') =
D(ff')$.

\smallbreak

Un peu de vocabulaire de topologie : dans ce qui suit, on suppose que
$X$ est un ensemble muni d'une topologie (c'est-à-dire un ensemble de
parties de $X$ dites « ouvertes » contenant $\varnothing$ et $X$ et
telles qu'une réunion quelconque ou une intersection finie d'ouverts
sont des ouverts), sachant qu'on s'intéresse évidemment au cas de la
topologie de Zariski.

Si $x \in U \subseteq V$ avec $U$ ouvert (et $V$ une partie quelconque
de $X$), on dit que $V$ est un \textbf{voisinage} de $x$.  (Un
voisinage ouvert de $x$ est donc tout simplement la même chose qu'un
ouvert contenant $x$.)

Si $E \subseteq X$ est une partie quelconque, l'intersection de tous
les fermés (=complémentaires des ouverts) contenant $E$, c'est-à-dire
le plus petit fermé contenant $E$, s'appelle \textbf{adhérence}
de $E$, parfois notée $\overline{E}$.  Il s'agit de l'ensemble des $x
\in X$ tels que tout voisinage de $x$ rencontre $E$.  Lorsque
l'adhérence de $E$ est $X$ tout entier, on dit que $E$ est
\textbf{dense} dans $X$.

On dit que $X$ est \textbf{irréductible} lorsque toute écriture $X =
F' \cup F''$ avec $F',F''$ fermés impose $F' = X$ ou $F'' = X$ ; de
façon équivalente, cela signifie que tout ouvert non vide de $X$ est
dense.

On dit que $X$ est \textbf{connexe} lorsque ($X$ est non vide et que)
$\varnothing$ et $X$ sont les seuls ensembles à la fois ouverts et
fermés dans $X$.  (« Irréductible » est plus fort que « connexe », car
si $X$ est irréductible, tout ouvert non vide est dense, et en
particulier le seul ouvert fermé non vide est $X$ tout entier.)

\smallbreak

Dans le cas de la topologie de Zariski sur une variété algébrique
affine $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ (c'est-à-dire,
sur $X(k)$) :
\begin{itemize}
\item $X$ est irréductible ssi $\mathcal{O}(X)$ est intègre
  (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}),
\item l'adhérence de Zariski d'une partie $E \subseteq X(k)$ est
  $Z(\mathfrak{I}(E))$ (en effet, ceci est un fermé de Zariski
  contenant $E$, et si $Z(J) \supseteq E$ est un autre fermé de
  Zariski contenant $E$ alors on a vu $J \subseteq \mathfrak{I}(E)$
  donc $Z(J) \supseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ --- ceci montre que
  $Z(\mathfrak{I}(E))$ est bien le plus petit pour l'inclusion fermé
  de Zariski contenant $E$).
\end{itemize}

Exemple (idiot) : On suppose $k$ de caractéristique zéro, disons $k =
\mathbb{C}$ ; quelle est l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ dans
$\mathbb{A}^1(k)$ ?  Réponse : L'ensemble $\mathfrak{I}(\mathbb{Z})$
des polynômes s'annulant en chaque point de $\mathbb{Z}$ est réduit
à $(0)$ puisqu'un polynôme en une variable ne peut avoir qu'un nombre
fini de racines ; donc l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ est
$Z(\mathfrak{I}(\mathbb{Z})) = \mathbb{A}^1(k)$ tout entier,
c'est-à-dire que $\mathbb{Z}$ est dense dans la droite affine pour la
topologie de Zariski.  Plus généralement, on peut facilement montrer
que les seuls fermés de Zariski de $\mathbb{A}^1(k)$ sont la droite
$\mathbb{A}^1(k)$ tout entière et les parties \emph{finies}.

\medbreak

\textbf{Composantes connexes.}

\begin{prop}
Si $X$ est une variété algébrique affine, alors $X$ est connexe si et
seulement si les seuls éléments $e \in \mathcal{O}(X)$ vérifiant $e^2
= e$ (appelés \textbf{idempotents}) sont $0$ et $1$.
\end{prop}

\begin{prop}
Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de
fermés connexes.  De plus, il existe une écriture $X = \bigcup_{i=1}^n
X_i$ vérifiant $X_i \cap X_j = \varnothing$ pour $i \neq j$, et une
telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les $X_i$
s'appellent les \textbf{composantes connexes} de $X$.
\end{prop}

\medbreak

\textbf{Composantes irréductibles.}

\begin{prop}
Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de
fermés irréductibles.  De plus, il existe une écriture $X =
\bigcup_{i=1}^n X_i$ vérifie $X_i \not\subseteq X_j$ pour $i \neq j$,
et une telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les
$X_i$ s'appellent les \textbf{composantes irréductibles} de $X$.
\end{prop}

\textbf{Exemple :} $Z(xy) \subseteq \mathbb{A}^2$ a pour composantes
irréductibles $Z(x)$ et $Z(y)$.  En revanche, il est connexe (=sa
seule composante connexe est lui-même) : en effet, si $U$ est un
ouvert fermé de $Z(xy)$, quitte à remplacer $U$ par son complémentaire
on peut supposer que $U$ contient $(0,0)$, et alors $U$ est un ouvert
fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci
sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$
et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(xy)$.

%
\subsection{Fonctions régulières sur un ouvert, morphismes}

Soit $X$ une variété algébrique affine sur $k$, et $f \in
\mathcal{O}(X)$.  On définira \textbf{l'anneau des fonctions
  régulières} sur l'ouvert principal $D(f) = X \setminus Z(f)$ comme
le localisé $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ inversant $f$ de l'anneau
$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières sur $X$.  Autrement dit
(cf. \ref{subsection-localization}), les fonctions régulières sont
$D(f)$ sont définies comme des fractions de fonctions régulières
sur $X$ admettant une puissance de $f$ au dénominateur.

On peut bien les voir comme des fonctions : si $x \in D(f)$, cela
signifie que $x \in X$ et que $f(x) \neq 0$, ce qui permet d'évaluer
en $x$ une fonction de la forme $\frac{g}{f^n}$.

\textbf{Exemple :} Les fonctions régulières sur
$\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ (la droite affine privée de l'origine,
c'est-à-dire $D(t)$ dans $\mathbb{A}^1 = \Spec k[t]$) sont les
fonctions rationnelles de la forme $\frac{g}{t^n}$ avec $n\geq 0$
(=les fonctions rationnelles n'ayant pas d'autre pôle qu'en zéro).
Plus généralement, toute fonction rationnelle $h \in k(t)$ peut être
considérée comme une fonction régulière sur un certain ouvert
de $\mathbb{A}^1$, à savoir l'ouvert où le dénominateur de $h$ ne
s'annule pas.

\smallbreak

Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$
une variété algébrique affine, on appelle \textbf{fonction régulière}
sur $U := U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r) = X \setminus Z(I)$ la
donnée d'une fonction $h \colon U \to k$ telle que la restriction de
$h$ à chaque $D(f_i)$ soit une fonction régulière.  \emph{Fait :} Ceci
ne dépend pas du choix des $f_i$ engendrant l'idéal $I$.  Ces
fonctions régulières forment un anneau, noté $\mathcal{O}(U)$.

\smallbreak

Si $U$ est un ouvert de Zariski d'une variété algébrique affine $X$,
et $V$ un ouvert de Zariski d'une variété algébrique affine $Y
\subseteq \mathbb{A}^e$, on appelle \textbf{morphisme} $U \to V$ une
application $U \to V$ telle que chacune des $e$ coordonnées à
l'arrivée soit une fonction régulière sur $U$.  Autrement dit, il
s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de
$\mathcal{O}(U)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in V$ pour tout $x
\in U$.  Comme précédemment, les fonctions régulières ne sont autres
que les morphismes vers $\mathbb{A}^1$.  On appellera
\textbf{isomorphisme} entre $U$ et $V$ la donnée de morphismes $U \to
V$ et $V \to U$ dont la composée chaque sens est l'identité.

On appelle \textbf{variété algébrique quasi-affine}, un ouvert d'une
variété algébrique affine (considérée à isomorphisme près) comme on
vient de le décrire.

\begin{prop}\label{morphisms-to-affines}
Si $U$ est une variété algébrique \emph{quasi-affine} et $Y$ une
variété algébrique \emph{affine}, alors les morphismes $U \to Y$ sont
en correspondance avec les morphismes $\mathcal{O}(Y) \to
\mathcal{O}(U)$ (de $k$-algèbres) en envoyant $f\colon U\to Y$ sur
$f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(U)$ (défini comme le
morphisme qui envoie une fonction régulière $h \colon Y \to
\mathbb{A}^1$ sur $f^*(h) := h\circ f \colon U\to \mathbb{A}^1$).
\end{prop}

Les ouverts \emph{principaux} (les $D(f)$), en fait, n'apportent rien
de nouveau :
\begin{prop}\label{principal-open-sets-are-affine}
Si $f\in \mathcal{O}(X)$ avec $X$ une variété algébrique affine, alors
l'ouvert principal $D(f) = X \setminus Z(f)$ est isomorphe à la
variété algébrique affine $\Spec \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.
\end{prop}

En revanche, pour un ouvert quelconque, on obtient véritablement des
choses nouvelles.

\danger La proposition \ref{morphisms-to-affines} cesse d'être vraie
si on considère des morphismes entre deux variétés algébriques
quasi-affines quelconques.  Par exemple, le plan affine $\mathbb{A}^2
= \Spec k[x,y]$ et le complémentaire $\mathbb{A}^2\setminus\{(0,0)\}$
de l'origine dans le plan affine ont exactement le même anneau des
fonctions régulières, pourtant, ces deux variétés quasi-affines ne
sont pas isomorphes.

Si $U$ est une variété algébrique quasi-affine, il existe un morphisme
naturel $\psi\colon U \to \Spec \mathcal{O}(U)$ d'après la
proposition \ref{morphisms-to-affines}, à savoir celui qui correspond
à l'identité sur $\mathcal{O}(U)$.  On dit que la variété algébrique
quasi-affine $U$ est \textbf{affine} lorsque $\psi$ est un
isomorphisme (de façon équivalente, lorsque $U$ est isomorphe à une
variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment).

La proposition \ref{principal-open-sets-are-affine} a pour conséquence
utile le fait que tout point d'une variété algébrique quasi-affine a
un \emph{voisinage} affine (autrement dit, « pour l'étude locale, les
  affines suffisent »).


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%

\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives}

\subsection{L'espace projectif sur un corps}

Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ (ou juste
$\mathbb{P}^d$ si $k$ est algébriquement clos et sous-entendu)
l'ensemble des $(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$
modulo la relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim
(x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et
$(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont colinéaires.  On note $(x_0:\cdots:x_d)$
(certains auteurs préfèrent $[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de
$(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette relation d'équivalence.  On peut voir
$\mathbb{P}^d(k)$ comme l'ensemble des droites vectorielles (=passant
par l'origine) de $k^{d+1}$.

Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d(k)$, selon
que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien
$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls).  Le point
$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point
$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la
forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et
collectivement, « hyperplan à l'infini »).  On peut donc écrire
$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion
disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de
celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie
que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et
$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire.  Noter que le choix de
$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de
$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir
$D(x_0),\ldots,D(x_d)$).

%
\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$,
  Nullstellensatz projectif}

On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins
pour $k$ algébriquement clos pour le moment).  Il faudra une notion
d'ouverts et une notion de fonctions régulières.

On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de
  degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le
même degré total $\ell$.  L'intérêt de cette remarque est que si
$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in
k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$
ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de
$(x_0:\cdots:x_d)$.  On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d)
\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ et $D(f)$ son
complémentaire.

On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f
\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré
total $\ell$.  Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties
homogènes.  Le produit de deux polynômes homogènes de degrés
respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$.

On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène}
lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne
signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes
homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit
constitué de polynômes homogènes).  De façon équivalente, il s'agit
d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$
est encore dans $I$.  (Démonstration de l'équivalence : si toute
partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en
prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties
homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore
génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$
admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si
$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés
$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i
g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$
de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où
$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré
$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)

(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque
$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé
\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un
\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties.  L'ensemble $Z(I)$
défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites
vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.)

Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$
comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
un ensemble de générateurs homogènes de $I$.  Les $Z(I)$ s'appellent
les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$.  Inversement, si $E$ est
une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$
s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq
E$).

\begin{thm}
Si $k$ est un corps algébriquement clos :
\begin{itemize}
\item (Nullstellensatz faible projectif.)  Pour $I$ un idéal homogène
  de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
  $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
  contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$
  (et, par conséquent, de tout degré plus grand).  Un tel idéal
  s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme].
\item (Nullstellensatz projectif.)  Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et
  $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques,
  décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
  de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
  les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
\item Ces bijections mettent en correspondance les idéaux homogènes
  premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles
  de $\mathbb{P}^d$.
\item Si $I$ est un idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$ tel que
  $Z(I) \neq \varnothing$ (i.e., qui n'est pas irrelevant) alors
  $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical de $I$).
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{rmk}
Pour qu'un idéal homogène $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ contienne tous
les monômes à partir d'un certain degré total $\ell$ (c'est-à-dire,
qu'il soit irrelevant), il faut et il suffit qu'il contienne tous les
$t_i^n$ à partir d'un certain $n$.  (En effet, un sens est trivial, et
pour l'autre sens, si $I$ contient tous les $t_i^n$, alors il contient
tout monôme de degré $(d+1)n$, puisqu'un tel monôme contient au moins
un $t_i$ à la puissance $n$.)  Comme il n'y a qu'un nombre fini des
$t_i$, on peut aussi intervertir les quantificateurs : c'est encore la
même chose que de dire que pour chaque $i$, l'idéal $I$ contient une
certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$.
\end{rmk}

\smallbreak

Les ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$ sont bien sûr, par
définition, les complémentaires $U(I)$ des fermés de Zariski $Z(I)$.
Ils peuvent toujours s'écrire de la forme $D(f_1) \cup \cdots \cup
D(f_r)$ où $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en
$t_0,\ldots,t_d$.


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\subsection{Le lien affine-projectif}\label{subsection-affine-vs-projective}

On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts
$D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces
affines, ou $d+1$ copies de l'espace affine $\mathbb{A}^d$.  Il faut
considérer que les coordonnées affines sur $D(t_i)$ sont les
$\frac{t_j}{t_i}$ avec $j\neq i$ (ce qui fait $d$ coordonnées).

Le lien affine-projectif est explicité par les affirmations
suivantes :
\begin{itemize}
\item Si $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène de degré $\ell$,
  l'intersection de $Z(f) \subseteq \mathbb{P}^d$ avec $D(t_i)$ est
  donnée par $Z(\frac{f}{t_i^\ell}) \subseteq \mathbb{A}^d$ en voyant
  $\frac{f}{t_i^\ell}$ comme un polynôme en les $\frac{t_j}{t_i}$.
\item Plus généralement, si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ est le
  fermé de Zariski défini par un idéal homogène $I$ de
  $k[t_0,\ldots,t_d]$, l'intersection de $X$ avec $D(t_i)$ est la
  variété affine $Z(I_{t_i}) \subseteq \mathbb{A}^d$ où $I_{t_i}$ est
  l'idéal engendré par les $\frac{f_j}{t_i^{\ell_j}}$ pour $f_j$
  parcourant des générateurs homogènes de $I$ et $\ell_j = \deg f_j$
  (l'idéal $I_{t_i}$ ne dépend pas du choix des $f_j$).
\item Bon à savoir : si $I$ est un idéal homogène de
  $k[t_0,\ldots,t_d]$, alors
  $k[\frac{t_0}{t_i},\ldots,\frac{t_d}{t_i}]/I_{t_i}$, où $I_{t_i}$
  est défini ci-dessus, est l'ensemble des éléments homogènes de degré
  zéro de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$.  L'un ou
  l'autre, donc, est vu comme l'ensemble des fonctions régulières sur
  $Z(I) \cap D(t_i)$.
\item Inversement, donnée un fermé de Zariski $X = Z(I) \subseteq
  \mathbb{A}^d$ de l'espace affine, où $I$ est un idéal radical de
  $k[\tau_1,\ldots,\tau_d]$, on peut définir une variété projective
  $X^+ = Z(I^+)$ dont l'idéal $I^+$ est engendré par les $f^+ :=
  t_0^{\deg f} f(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}) \in
  k[t_0,\ldots,t_d]$ pour tous les $f\in I$ (c'est-à-dire les
  polynômes homogénéisés) : on peut montrer qu'il s'agit précisément
  de l'adhérence de $X$ dans $\mathbb{P}^d$.  Malheureusement, il ne
  suffit pas en général de prendre un ensemble de générateurs de $I$
  pour que leurs homogénéisés engendrent $I^+$ (penser à $I =
  (\tau_2-\tau_1^2,\; \tau_3-\tau_1^3)$ qui contient
  $\tau_3-\tau_1\tau_2$ alors que $(t_0 t_2 - t_1^2,\; t_0 t_3 -
  t_1^3)$ ne contient pas $t_0 t_3-t_1 t_2$, il faut le mettre
  explicitement dans $I^+$).  Il y a cependant un cas favorable :
  lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$.
\end{itemize}


%
\subsection{Variétés projectives et quasi\-projectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}

On appelle \textbf{variété algébrique projective},
resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective} un fermé de Zariski
de l'espace projectif $\mathbb{P}^d$, resp. un ouvert de Zariski d'une
telle variété (autrement dit, l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
de Zariski de $\mathbb{P}^d$).

Si $X$ est une variété algébrique projective (resp. quasiprojective)
dans $\mathbb{P}^d$ et qu'on note $D(t_0),\ldots,D(t_d)$ les $d+1$
ouverts $\{t_0\neq 0\},\ldots,\{t_d\neq 0\}$ chacun identifié à un
espace affine $\mathbb{A}^d$, alors, comme expliqué
en \ref{subsection-affine-vs-projective}, chacun des $X\cap D(t_i)$
peut être considéré comme une variété algébrique affine
(resp. quasi-affine).

Comment définir un morphisme entre variétés algébriques projectives ou
quasiprojectives ?  Moralement, on veut le définir comme une
application qui est « localement » un morphisme entre variétés
algébriques affines.

On peut par exemple définir une \textbf{fonction régulière} $h$ sur
une variété projective ou quasiprojective $X$ comme une fonction
$h\colon X \to \mathbb{A}^1$ telle que $h|_{X \cap D(t_i)}$ soit une
fonction régulière sur $X \cap D(t_i)$ pour chaque $i$.  Pour les
morphismes, la situation est un peu plus compliquée car il faut
considérer non seulement des recouvrements au départ mais aussi à
l'arrivée.

Voici une \underline{première définition possible} : si $X \subseteq
\mathbb{P}^d$ et $Y \subseteq \mathbb{P}^e$ sont deux variétés
quasiprojectives, un \textbf{morphisme} $X \to Y$ est une fonction
$h\colon X \to Y$ telle qu'il existe un recouvrement $X =
\bigcup_\lambda V_\lambda$ [qu'on peut toujours supposer fini] de $X$
par des ouverts de Zariski $V_\lambda$, chacun complètement contenu
dans un $D(t_{i_\lambda}) \cong \mathbb{A}^d$ (ce qui permet de
considérer au moins $V_\lambda$ ou $X \cap D(t_{i_\lambda})$ comme une
variété quasi-affine) et tel que $h(V_\lambda)$ soit contenu dans un
$D(u_{j_\lambda}) \cong \mathbb{A}^e$ de $\mathbb{P}^e$ où on a noté
$(u_0:\cdots:u_e)$ les coordonnées sur $\mathbb{P}^e$ (ceci permet de
considérer $Y \cap D(u_{j_\lambda})$ comme une variété quasi-affine),
avec $h|_{V_\lambda} \colon V_\lambda \to (Y \cap D(u_{j_\lambda}))$
un morphisme (pour chaque $\lambda$).

Décrivons une \underline{autre définition possible}, qui soit un peu
plus opérationnelle (on admettra, entre autres choses, que ces
définitions sont bien équivalentes !).  Si $X \subseteq \mathbb{P}^d$
est une variété quasiprojective, on considère des $(e+1)$-uplets de
polynômes homogènes $f_0,\ldots,f_e$ \emph{de même degré} en $d+1$
variables $t_0,\ldots,t_d$.  Un tel $(e+1)$-uplet $f =
(f_0:\cdots:f_e)$ définit une application $V \to \mathbb{P}^e$ par $x
\mapsto (f_0(x):\cdots:f_e(x))$, où $V$ est l'ensemble (ouvert de
Zariski) des points $x$ de $X$ tels que $f_0(x), \ldots, f_e(x)$ ne
s'annulent pas simultanément.  Un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ est
une application $h\colon X \to \mathbb{P}^e$ tel que des restrictions
$h|_{V_\lambda}\colon V_\lambda \to \mathbb{P}^e$ puissent s'écrire
sous la forme précédente, pour des ouverts $V_\lambda$ recouvrant $X$.
Si de plus l'image est contenue dans une variété quasiprojective $Y
\subseteq \mathbb{P}^e$, on pourra dire qu'il s'agit d'un morphisme $X
\to Y$.

Concrètement, donc, selon cette seconde définition, se donner un
morphisme $X \to \mathbb{P}^e$, si $X = Z(I)$ est une variété
projective avec $I$ idéal radical homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$,
revient à se donner un certain nombre d'écritures
$(f^{(\lambda)}_0:\cdots:f^{(\lambda)}_e)$ telles que (i) pour
chaque $\lambda$, les polynômes
$f^{(\lambda)}_0,\cdots,f^{(\lambda)}_e$ sont homogènes de même degré,
(ii) les $f^{(\lambda)}_i$ et $I$ (tous ensemble) engendrent un idéal
irrelevant (ce qui par le Nullstellensatz revient à dire que pour tout
point de $X = Z(I)$ il y a au moins un $f^{(\lambda)}_i$ qui ne
s'annule pas), et (iii) $f^{(\lambda)}_i f^{(\mu)}_j - f^{(\lambda)}_j
f^{(\mu)}_i$ appartient à $I$ pour tous $\lambda,\mu,i,j$ (ce qui
revient à dire que $(f^{(\lambda)}_0:\cdots:f^{(\lambda)}_e)$ et
$(f^{(\mu)}_0:\cdots:f^{(\mu)}_e)$ définissent bien la même fonction).
Pour définir un morphisme $X \to Y$ avec $Y = Z(J)$ une autre variété
projective, on demande de plus (iv) que, pour chaque $\lambda$, les
$f^{(\lambda)}_0,\ldots,f^{(\lambda)}_e$ vérifient, modulo $I$, les
équations données par des générateurs de $J$.

\medbreak

Avant de donner des exemples, citons le fait suivant, qui aide à
comprendre qu'on a énormément de rigidité dans la définition d'un
morphisme (notamment, une fois donnée la restriction de celui-ci à un
ouvert dense $V$, le morphisme est complètement défini) :
\begin{prop}
Si $h,h' \colon X \to Y$ sont deux morphismes entre variétés
quasiprojectives et si $h,h'$ coïncident sur une partie \emph{dense}
de $X$ (pour la topologie de Zariski), alors $h = h'$.  Plus
généralement, l'ensemble des points où $h$ et $h'$ coïncident est un
fermé de $X$.
\end{prop}

On rappelle que si $X$ est irréductible, alors tout ouvert de $X$ non
vide est dense (c'est même équivalent).

\medbreak

\textbf{Exemples} de morphismes :

¶ Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation $x^2 + y^2 =
z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans $\mathbb{P}^2$ de
coordonnées homogènes $(z:x:y)$ (sur un corps $k$ de
caractéristique $\neq 2$), et soit le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées
$(t_0:t_1)$.  On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ par
$(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$.  Il est
clair que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to
\mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent
tous les monômes de degré $2$ donc un idéal irrelevant ; ensuite,
comme $(t_0^2-t_1^2)^2 + (2t_0t_1)^2 = (t_0^2+t_1^2)^2$, ce morphisme
arrive bien dans $C^+$.

Dans l'autre sens : on définit un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ de
la façon suivante : on commence par l'équation $(z:x:y) \mapsto
(x+z:y)$, mais ceci ne définit un morphisme que sur l'ouvert
complémentaire de $Z(x+z,y)$ (c'est-à-dire du point
$(z:x:y)=(1:-1:0)$).  Il faut donc trouver une autre équation, ou
plutôt une autre forme, sur un ouvert qui contienne ce point.  Ce
n'est pas difficile : en se disant que de façon assez générale on a
$(x+z:y) = ((x+z)(x-z):y(x-z)) = (x^2-z^2:y(x-z)) = (-y^2:y(x-z)) =
(y:z-x)$, on va considérer $(z:x:y) \mapsto (y:z-x)$, qui est, cette
fois, défini sur le complémentaire de $Z(y,z-x)$, c'est-à-dire de du
point $(z:x:y) = (1:1:0)$.  Le calcul qu'on vient de faire montre que
$(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux
équations se recollent bien en un unique morphisme $C^+ \to
\mathbb{P}^1$.

La composée des morphismes qu'on vient de définir est l'identité :
dans le sens $\mathbb{P}^1 \to C^+ \to \mathbb{P}^1$, c'est clair car
l'identité s'obtient bien en recollant $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0^2 :
2t_0 t_1)$ et $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0 t_1 : 2t_1^2)$.  Dans le sens
$C^+ \to \mathbb{P}^1 \to C^+$, on constate que la composée de
$(z:x:y) \mapsto (x+z:y)$ avec $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 :
t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ donne $(z:x:y) \mapsto (x^2+2xz+z^2+y^2 :
x^2+2xz+z^2-y^2 : 2xy+2yz)$ ce qui, modulo $x^2+y^2-z^2$, vaut
$(2z(x+z) : 2x(x+z) : 2y(z+x))$, soit $(z:x:y)$ dès que $x+z\neq 0$.
Comme l'ouvert $\{x+z\neq0\}$ est dense, ceci suffit à montrer qu'on a
affaire à l'identité.

On a donc prouvé que le cercle (projectif !) $C^+$ d'équation $x^2+y^2
= z^2$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$.

\smallbreak

¶ Un exemple avec des variétés ouvertes : $\mathbb{A}^{d+1}
\setminus\{(0,0)\} \to \mathbb{P}^d$ donné par $(x_0,\ldots,x_d)
\mapsto (x_0:\cdots:x_d)$.



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\section{Géométrie algébrique sur un corps non algébriquement clos}

\subsection{Crash-course de théorie de Galois}

Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de
caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième =
corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la
clôture algébrique.  Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$,
$\mathbb{F}_q$ sont parfaits comme l'est tout corps algébriquement
clos.  Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ n'est pas parfait ($t$ n'a
pas de racine $p$-ième).

Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une
clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle
\textbf{groupe de Galois absolu} de $k$ le groupe des automorphismes
de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe
(i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$).

\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}},
(z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$.  Si $k$ est
algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial.  Si $k = \mathbb{F}_q$
est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les
puissances $\Frob_q^i \colon x \mapsto x^{q^i}$ du Frobenius
$\Frob_q\colon x \mapsto x^q$ ; il contient en fait d'autres éléments,
mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens :
la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un
$\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in
\mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on
préfère) ; en tout cas, pour voir qu'un élément de $k^{\alg}$ (ou de
n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par
$\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable
par $\Frob_q$.

\begin{thm}\label{rational-iff-fixed-by-galois}
Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un
élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais
  ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$
pour tout $\sigma \in \Gamma_k$.
\end{thm}

Slogan : « rationnel = fixé par Galois ».

Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique (on note parfois ça
$K/k$, mauvaise notation car elle fait penser à un quotient), si $k$
est parfait alors $K$ l'est aussi, et $\Gamma_{K}$ est un sous-groupe
de $\Gamma_k$.  Ce sous-groupe est \emph{distingué} exactement lorsque
$\sigma(K) = K$ (c'est-à-dire $K$ est \emph{globalement} stable
par $\sigma$, pas nécessairement fixé point à point) pour tout
$\sigma\in\Gamma_k$ : dans ce cas on dit que $K$ est une
\textbf{extension galoisienne} de $k$, et on pose $\Gal(k\subseteq K)
= \Gamma_k/\Gamma_{K}$, qui s'appelle groupe de Galois de l'extension
$k \subseteq K$.  Il peut se voir comme l'ensemble des automorphismes
de $K$ laissant $k$ fixe.  Remarque : si $\Gamma_k$ est abélien (c'est
le cas de $\mathbb{F}_q$), \emph{toute} extension algébrique de $k$
est galoisienne.

\begin{thm}
\begin{itemize}
\item Si $k\subseteq K$ est une extension finie (donc algébrique)
  galoisienne, alors un élément $x$ de $K$ appartient à $k$ si [et
    seulement si] on a $\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in
  \Gal(k\subseteq K)$.  De plus, il y a une bijection entre extensions
  intermédiaires $k \subseteq E \subseteq K$ et sous-groupes de
  $\Gal(k\subseteq K)$ donnée par $E \mapsto \Gamma_E/\Gamma_K =
  \Gal(E\subseteq K)$ et réciproquement $H \mapsto \{x \in K
  :\penalty-100 (\forall \sigma \in H)\, \sigma(x)=x\}$.  (Note :
  l'extension $E \subseteq K$ est toujours galoisienne (on rappelle
  que $k \subseteq K$ était supposée l'être !), et $k \subseteq E$
  l'est lorsque $\Gal(E\subseteq K)$ est distingué dans
  $\Gal(k\subseteq K)$.)
\item Version absolue : pour $k$ parfait, il y a une bijection entre
  les extensions finies (et en particulier, algébriques) $k\subseteq
  K$ de $k$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée, et les
  sous-groupes de $\Gamma_k$ qui sont « ouverts » au sens où ils
  contiennent un $\Gamma_{k'}$ pour $k'$ extension finie de $k$.
\end{itemize}
\end{thm}

La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale
de \ref{rational-iff-fixed-by-galois}, la seconde est beaucoup plus
subtile.
\begin{thm}
Pour $k$ parfait :
\begin{itemize}
\item Si $x \in \mathbb{A}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors
  $x \in \mathbb{A}^d(k)$ (au sens où ses coordonnées affines sont
  dans $k$).
\item Si $x \in \mathbb{P}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors
  $x \in \mathbb{P}^d(k)$ (au sens où \emph{il admet} des coordonnées
  homogènes dans $k$).
\end{itemize}
\end{thm}



\subsection{Variétés sur un corps non algébriquement clos}

Soit $k$ un corps parfait.  Si $I$ est un idéal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit l'idéal $I_{k^{\alg}} := I\cdot
k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ engendré par $I$ dans
$k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$.

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item L'idéal $I_{k^{\alg}}$ est radical si et seulement si $I$ l'est.
\item Un idéal $J$ de $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
  $I_{k^{\alg}}$ pour $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si et seulement
  si $\sigma(J) = J$ pour tout $\sigma \in \Gamma_k$.  Lorsque c'est
  le cas, $I = J \cap k[t_1,\ldots,t_d]$.
\item Lorsque $J$ est radical, c'est le cas (=$J$ est de la
  forme $I_{k^{\alg}}$) si et seulement si $\sigma(Z(J)) = Z(J)$ dans
  $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$.  Remarque : $Z(J) = Z(I)$ dans
  $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$.
\item On a des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion,
  entre idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et fermés de Zariski de
  $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, donnée par $I \mapsto
  Z(I_{k^{\alg}})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E) \cap
  k[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{itemize}
\end{prop}

On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$
stable par Galois de $k$-variété algébrique affine ou variété
algébrique affine \emph{sur $k$} (moralité : c'est une variété dont
les équations peuvent être définies sur $k$).  On qualifie alors les
éléments de $X \cap k^d$ (c'est-à-dire les points de $X$ dont les
coordonnées sont dans $k$, ou les solutions \emph{dans $k$} des
équations de $X$) de $k$-points de $X$, et on note généralement $X(k)$
cet ensemble.  (Ainsi, $X(k^{\alg})$ est la même chose que $X$.)

\emph{Attention}, $X(k)$ ne détermine pas $X$ ; notamment, cet
ensemble peut très bien être vide sans que $X$ le soit (car le
Nullstellensatz ne fonctionne que sur un corps algébriquement clos).
Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) \subseteq \mathbb{A}^2$ définit une variété
algébrique affine sur $\mathbb{R}$ qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point.

La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections
réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes
radicaux de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ et
fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k^{\alg})$ stables par Galois,
donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)
\cap k[t_0,\ldots,t_d]$.

On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective
$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois
(moralité : c'est une variété dont les équations peuvent être définies
sur $k$).  On peut donc définir une action de Galois sur
$X(k^{\alg})$, et $X(k)$ est l'ensemble des points fixés par Galois
(et pour toute extension $k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le
sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ fixé par $\Gamma_{k'}$).

Pour éviter les confusions, on note souvent $X_{k^{\alg}}$ la variété
sur $k^{\alg}$ définie par $X$ (c'est-à-dire celle où on oublie la
structure sur $k$ / l'action de Galois).

\medbreak

\underline{Attention :} si un idéal $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est premier
(cela signifie qu'il est radical et que la variété $X = Z(I) \subseteq
\mathbb{A}^d$ définie sur $k$ est irréductible au sens où elle n'est
pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela
n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que
$X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est
vraie.  On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou
\emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est
irréductible.  Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$
sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur
$\mathbb{C}$ il est réunion des deux droites $Z(x+iy)$ et $Z(x-iy)$,
mais sur $\mathbb{R}$ il est irréductible car tout fermé défini
sur $\mathbb{R}$ qui contient une de ces droites doit contenir
l'autre.

\medbreak

Quant aux idéaux \emph{maximaux} de $k[t_1,\ldots,t_d]$, ils
correspondent aux \emph{orbites} sous $\Gamma_k$, c'est-à-dire aux
ensembles (nécessairement finis) de $k^{\alg}$-points tels que
n'importe lequel puisse être envoyé sur n'importe lequel par un
élément de $\Gamma_k$ (c'est-à-dire, si on préfère, qu'aucun
sous-ensemble non-vide n'est stable par $\Gamma_k$).  (On peut, si on
le souhaite, considérer que ce sont là les « points » de l'espace
affine $\mathbb{A}^d$, auquel cas on les appelle « points fermés »
pour bien les distinguer des « $k$-points », c'est-à-dire les éléments
de $k^d$, ou orbites réduites à un seul élément.)  Une remarque
analogue vaut pour des variétés algébriques sur $k$ plus générales :
les idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]/I$, pour $I$ idéal radical
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, correspondent aux orbites sous $\Gamma_k$ de
$Z(I)(k^{\alg})$.



\subsection{Morphismes entre icelles}

Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur un corps
parfait $k$, un morphisme $X_{k^{\alg}} \buildrel f\over\to
Y_{k^{\alg}}$ sera considéré comme un morphisme $X \to Y$ de
$k$-variétés lorsqu'il vérifie les conditions équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item Il existe des équations à coefficients dans $k$ définissant $f$.
\item Le morphisme $f$ commute à l'action de Galois, au sens où
  $\sigma(f(x)) = f(\sigma(x))$ pour tout $x \in X(k^{\alg})$.
\end{itemize}

(Cas particulier éclairant : si $f \in \mathbb{F}_{q^n}[t]$, alors
$f(t)^q = f(t^q)$ si et seulement si $f \in \mathbb{F}_q[t]$.)

En particulier, $f$ définit une application $X(k) \to Y(k)$, mais la
donnée de celle-ci \emph{ne suffit pas} à caractériser $f$ (penser au
fait que $X(k)$ peut très bien être vide !).

\medbreak

Pour les fonctions régulières, on a ce qu'on imagine : un morphisme $X
\to \mathbb{A}^1$ est la même chose qu'une fonction régulière sur
$X_{k^{\alg}}$ stable par Galois, et c'est ce qu'on appelle une
fonction régulière sur $X$.  Lorsque $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$
est affine (avec $I = \mathfrak{I}(X)$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$),
les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de $\mathcal{O}(X)
:= k[t_1,\ldots,t_d]/I$, qui est donc plus petit que
$\mathcal{O}(X_{k^{\alg}}) = k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/I_{k^{\alg}}$.
En général, on peut toujours définir une fonction régulière sur $X$
par recollement de fonctions régulières sur des ouverts affines
(c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$}, il n'y a pas besoin
de passer à la clôture algébrique).



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%
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\section{Quelques résultats fondamentaux de la géométrie algébrique}

\subsection{L'opposition affine-projectif}

\begin{thm}\label{projective-to-affine-morphisms-are-constant}
Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété
affine est constant.  (En particulier, toute fonction régulière sur
une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$,
est constant sur chaque composante connexe.)
\end{thm}


%
\subsection{La dimension}

\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on dit
que des éléments $x_i$ de $K$ sont \textbf{algébriquement
  indépendants} (comprendre : « collectivement transcendants »)
sur $k$ lorsque les seuls polynômes $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que
$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_d}) = 0$ pour certains $i_1,\ldots,i_d$ deux à
deux distincts sont les polynômes nuls.  Ceci est équivalent au fait
que le sous-corps $k(x_i)$ de $K$ engendré par les $x_i$ avec $k$ est
isomorphe au corps des fractions rationnelles sur autant
d'indéterminées que de $x_i$ (il est plus simple de penser au cas où
les $x_i$ sont en nombre fini, qui nous suffira).  On appelle
\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ un ensemble maximal
d'éléments algébriquement indépendants, c'est-à-dire, un ensemble de
$x_i$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $K$ soit
algébrique sur le sous-corps $k(x_i)$ qu'ils engendrent au-dessus
de $k$.  Une base de transcendance de $K$ sur $k$ existe toujours, et
toutes ont le même cardinal : on appelle celui-ci \textbf{degré de
  transcendance} de $K$ sur $k$ et on le note $\degtrans_k(K)$.

Par exemple, $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_d) = d$ (où
$k(t_1,\ldots,t_d)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $d$
indéterminées sur $k$).  Lorsque $K$ est algébrique sur $k$, on a
$\degtrans_k K = 0$ et réciproquement.  Par ailleurs, lorsque $k
\subseteq K \subseteq L$ sont trois corps, on a toujours $\degtrans_k L
= \degtrans_k K + \degtrans_K L$.

\begin{defn}\label{definition-rational-function-and-dimension}
Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur un corps $k$, on appelle
\textbf{fonction rationnelle} sur $X$ une fonction régulière sur un
ouvert non-vide=dense quelconque de $X$, en identifiant deux fonctions
si elles coïncident sur l'intersection de leur domaine de définition ;
on note $k(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$.  Lorsque
$X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des
fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions
régulières sur $X$, qui est intègre).  De façon générale, $k(X)$
coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$
de $X$ (on peut donc définir $k(X) = \Frac \mathcal{O}(U)$ pour $U$ un
ouvert affine dense de $X$).

On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$
de $k(X)$.
\end{defn}

Pour $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$, le corps des fractions
rationnelles est $k(t_1,\ldots,t_d)$ et
$k(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0})$.  La dimension de
$\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$ est donc $d$.  De façon générale,
d'après ce qu'on vient de dire, la dimension d'une variété
irréductible est égale à celle de n'importe lequel de ses ouverts
non-vides.

(Lorsque $X$ n'est pas irréductible, on appelle dimension de $X$ la
plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$.  Parfois
on convient que la dimension du vide est $-1$.)

La dimension de $X$ est une notion « géométrique » : on a $\dim X =
\dim X_{k^{\alg}}$.

\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz}
Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in
\mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire
$Z(f) \neq\varnothing$) et pas nul.  Alors chaque composante
irréductible de $Z(f)$ est de dimension $d-1$.

Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de
dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène (en $e+1$ variables)
non constant sur $X$.  Alors chaque composante irréductible de $X \cap
Z(f)$ est de dimension $d-1$, \emph{et de plus $X \cap Z(f)$ n'est pas
  vide}\footnote{On rappelle que « non vide » signifie ici que la
  variété a des points sur $k^{\alg}$ algébriquement clos, pas
  nécessairement qu'elle a des $k$-points.} lorsque $d\geq 1$.
\end{thm}

\begin{cor}
Si $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en $e+1$ variables,
avec $r \leq e$, alors $Z(f_1,\ldots,f_r) \neq \varnothing$,
c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations
$f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune.
\end{cor}

De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $e-r$.
Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient
être tous égaux, par exemple).  Lorsqu'il est exactement de dimension
$e-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète}
(projective, globale).

\begin{cor}
Si $X$ est une variété algébrique (quasiprojective) irréductible de
dimension $d$, alors le seul fermé $Y$ de $X$ tel que $\dim Y = d$ est
$X$ lui-même.  Par ailleurs, il existe toujours des fermés
irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$.

(Autrement dit, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 +
\max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles
de $X$.)
\end{cor}

\begin{thm}
Soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés algébriques
(quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où pour tout $x
\in X$ il existe $z \in Z$ tel que $x = f(z)$, $x,z$ étant des points
sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos,, cf. la section
suivante), et soit $d = \dim X$ et $e = \dim Z$.  Alors $e \geq d$, et
de plus :
\begin{itemize}
\item Si $x \in X$, alors toute composante de $f^{-1}(x)$ (cf. section
  suivante) est de dimension \emph{au moins} $e-d$.
\item Il existe un ouvert non vide (donc dense) $U \subseteq X$ tel
  que $\dim f^{-1}(x) = e - d$ (au sens où toute composante
  irréductible de $f^{-1}(x)$ a cette dimension) si $x \in U$.
\end{itemize}
\end{thm}

\medbreak

Voici enfin un résultat qui permet, notamment avec les outils de la
section \ref{section-groebner-bases} (bases de Gröbner), de rendre
algorithmique le calcul des dimensions :

\begin{thm}
\begin{itemize}
\item\textbf{Variante projective :} Soit $I$ un idéal homogène de
  $k[t_0,\ldots,t_d]$.  La fonction « de Hilbert-Samuel » qui à $\ell
  \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
  vectoriel) $\dim_k k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}/I^{[\ell]} =
  \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
  polynômes homogènes de degré $\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
  avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel ») pour $\ell$ suffisamment
  grand : le degré de ce polynôme est exactement la dimension de la
  variété $Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ définie par l'idéal $I$ (et en
  particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel de $I$ et $\surd I$ ont
  même degré).

De plus, en anticipant sur les définitions de la
section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre
admissible $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel de $I$ coïncide
avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de monômes
de degré $\ell$ qui n'appartiennent pas à $\init_{\preceq}(I)$.  (Ceci
permet de la calculer à partir d'une base de Gröbner de $I$.)

\item\textbf{Variante affine :} Soit $I$ un idéal de
  $k[t_1,\ldots,t_d]$.  La fonction « de Hilbert-Samuel affine » qui à
  $\ell \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
  vectoriel) $\dim_k k[t_1,\ldots,t_d]^{[\leq\ell]}/I^{[\leq\ell]} =
  \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
  polynômes de degré total $\leq\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
  avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel affine ») pour $\ell$
  suffisamment grand : le degré de ce polynôme est exactement la
  dimension de la variété $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ définie par
  l'idéal $I$ (et en particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel
  affine de $I$ et $\surd I$ ont même degré).

De plus, en anticipant sur les définitions de la
section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre admissible
\emph{gradué} $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$
coïncide avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de
monômes de degré $\leq\ell$ qui n'appartiennent pas
à $\init_{\preceq}(I)$.  (Ceci permet de la calculer à partir d'une
base de Gröbner de $I$.)
\end{itemize}
\end{thm}

\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$ (i.e., pour $I$ l'idéal nul),
le $k$-espace vectoriel $k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}$ des polynômes
homogènes de degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées a pour base les
monômes de degré (total) $\ell$, qui sont au nombre de
$\frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!}$.  C'est là la fonction de Hilbert-Samuel
de $\mathbb{P}^d$ (c'est aussi la fonction de Hilbert-Samuel affine de
$\mathbb{A}^d$), et son terme dominant vaut $\frac{1}{d!}\,\ell^d$, ce
qui est cohérent avec le fait que $\mathbb{P}^d$ (ou $\mathbb{A}^d$)
est de dimension $d$.

Si on considère maintenant le cercle $C^+ = Z(x^2+y^2-z^2)$
dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo
$z^2$ peuvent se réduire en un polynôme de degré $\ell$ en $x,y$, plus
$z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ en $x,y$ : leur dimension est
donc $2\ell+1$ (une base est donnée par $x^\ell,\penalty100
x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100
x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$.  On voit ici que le
cercle est de dimension $1$.


%
\subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism}

Si $X \buildrel f\over\to Y$ est un morphisme entre variétés
quasiprojectives et $Y' \subseteq Y$ un fermé ou un ouvert (ou
l'intersection d'un fermé et d'un ouvert) dans $Y$, il est facile de
définir l'\emph{image réciproque} de $Y'$ par $f$ : il suffit de
« tirer » les équations de $Y'$ de $Y$ à $X$, c'est-à-dire écrire les
équations $h\circ f = 0$ pour chaque équation $h = 0$ de $Y'$ (et
pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert).

Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus
délicat.  Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$,
et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, quel
est l'ensemble des $y \in Y$ tels qu'il existe $x \in X$ ($x,y$ des
points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ?

\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
  quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
  il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
  dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
  telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour
  lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
  f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
\end{itemize}
\end{thm}


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\subsection{Vecteurs tangents, points lisses, et différentielles}
\label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points}

Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est
un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$,
et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos
ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du
noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
  t_j}(x_1,\ldots,x_d)$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
  t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$.  Intuitivement, il faut comprendre
un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le
reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec
$\varepsilon$ infinitésimal ($\varepsilon^2=0$).  L'espace vectoriel
des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement \textbf{espace
  tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$.

Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective quelconque, on
rappelle que tout point $x \in X$ a un voisinage affine $V$, et on
définit alors $T_x X = T_x V$.  (Cette définition passe sous silence
un certain nombre de choses, par exemple la manière dont on identifie
$T_x V$ et $T_x V'$ si $V,V'$ sont deux voisinages affines différents
du même point $x$, à commencer par le fait qu'ils ont la même
dimension : cela est en fait justifié par la notion de différentielle
d'un morphisme, expliquée plus bas.)

\medbreak

\begin{prop}
Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective irréductible sur un
corps $k$, pour tout $x \in X$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
\end{prop}

Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit
d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$
(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que
peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou
\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$.  Lorsque tout
point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit
que $X$ lui-même est lisse (ou régulier) (sur son corps de base).

(Pour une variété réductible, un point situé sur une seule composante
irréductible est dit lisse lorsqu'il est lisse sur la composante en
question ; et un point situé sur plusieurs composantes irréductibles à
la fois n'est jamais lisse --- on peut prendre ça comme définition ou
le montrer en prenant comme définition de la lissité le fait que la
dimension de l'espace tangent au point considéré soit égale à la plus
grande dimension d'une composante irréductible passant par ce point.)

\begin{prop}
Soit $X$ une variété quasiprojective sur un corps algébriquement
clos $k$ : alors les points lisses de $X$ forment un ouvert de
Zariski.
\end{prop}
\begin{proof}
L'affirmation est locale, donc on peut supposer $X$ affine.  Si $X$
est de codimension $r$ (c'est-à-dire de dimension $d-r$
dans $\mathbb{A}^d$), le fait que $x$ soit lisse se traduit par le
fait que la matrice des dérivées partielles en $x$ des équations
définissant $X$ est de rang \emph{au moins} $r$ (sachant qu'elle ne
peut pas être strictement supérieure).  Or ceci se traduit par le fait
qu'il existe un mineur $r\times r$ de cette matrice qui ne s'annule
pas : la réunion des ouverts définis par tous les mineurs $r\times r$
(qui sont bien polynomiaux dans les variables) donne bien une
condition ouverte de Zariski.
\end{proof}

\begin{rmk}
\begin{itemize}
\item D'après \ref{hauptidealsatz}, une hypersurface $Z(f)$
  dans $\mathbb{A}^d$, pour $f$ non constant, est de dimension $d-1$,
  donc elle est lisse ssi aucun point de $Z(f)$ n'annule simultanément
  les $d$ dérivées partielles de $f$.  Grâce au Nullstellensatz, ceci
  peut encore se reformuler en : $Z(f)$ est lisse ssi les polynômes
  $f$ et $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ (soit $d+1$ polynômes au
  total) engendrent l'idéal unité de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
\item Variante projective : pour $f$ homogène de degré non nul dans
  $k[t_0,\ldots,t_d]$, on peut montrer que $Z(f) \subseteq
  \mathbb{P}^d$ est lisse ssi les polynômes $\frac{\partial
    f}{\partial t_i}$ n'ont aucun zéro commun sur $k$ (algébriquement
  clos !), car un zéro commun des $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
  est forcément zéro de $f = \sum_{i=0}^d t_i \frac{\partial
    f}{\partial t_i}$.  Grâce au Nullstellensatz projectif, on peut
  encore reformuler cela en : les $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
  engendrent un idéal irrelevant.
\item Quand $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ (affine, disons
  dans $\mathbb{A}^d$) est définie par plusieurs polynômes
  $f_1,\ldots,f_r$, \emph{si} la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
    t_j}$ est de rang $r$ en un point de $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$, on
  peut conclure que ce point est lisse et que $X$ est de
  dimension $d-r$.  En revanche, lorsque le rang est plus petit
  que $r$, on ne peut pas conclure sauf en connaissant la dimension
  de $X$.
\end{itemize}
\end{rmk}

\begin{prop}
Soit $X$ une variété quasiprojective : alors il existe un point lisse
de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, sur il
existe un ouvert dense de points lisses sur une variété
quasiprojective irréductible.
\end{prop}

Ceci permet parfois de calculer la dimension d'une variété, en
reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le
\emph{minimum} des dimensions des espaces vectoriels $T_x X$ (donc,
dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible
que prend la matrice des dérivés partielles).

\medbreak

\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un
morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement
clos $k$ et $x \in X$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to
T_{h(x)} Y$ qui est définie de la façon suivante.  Quitte à remplacer
$X$ par un voisinage affine de $x$ et $Y$ par un voisinage affine de
$h(x)$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affines.  Dans ce cadre,
si $X$ est défini par des équations\footnote{Ce genre de formulation
  sous-entend non seulement que $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ mais, plus
  fortement, que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est \emph{radical},
  c'est-à-dire que c'est $\mathfrak{I}(X)$.} $f_1=\cdots=f_r = 0$
dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des
$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
  t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$
dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des
$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial
  u_j}(y_1,\ldots,y_d)\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des
polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$)
envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur
$(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors
$dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur $(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i =
\sum_{j=1}^d \frac{\partial h_i}{\partial t_j}\, v_j$ (et la condition
souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial
  u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une conséquence de la formule des
dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a
$\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial u_j} \frac{\partial
  h_j}{\partial t_l} = 0$).  Cette application $dh_x$ est linéaire
(pour chaque $x$ donné) : on l'appelle \textbf{différentielle} du
morphisme $h$ au point $x$.

Si $h = h'' \circ h'$, alors on a $dh_x = dh''_{h'(x)} \circ dh'_x$
comme on s'y attend.

\textbf{Lissité des morphismes.}  On ne définira le concept de
morphisme lisse entre variétés quasiprojectives $X \to Y$ que lorsque
$Y$ elle-même est lisse.  Plus exactement, on dit qu'un morphisme $X
\buildrel h\over\to Y$ est \emph{lisse} en un point $x \in X$ tel que
$Y$ soit lisse en $h(x)$, lorsque $dh_x \colon T_x X \to T_{h(x)} Y$
est \emph{surjective}.  On dit qu'un morphisme $X \to Y$, avec $Y$
lisse, est lisse (partout) lorsque la différentielle est surjective en
tout point.  Une conséquence importante de la lissité de $h$ est que
la fibre $h^{-1}(y)$ est elle-même lisse (en tant que variété, un
fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$.



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%
%

\section{Introduction aux bases de Gröbner}\label{section-groebner-bases}

(À part pour la proposition \ref{projection-by-elimination}, toute
cette partie ne dépend que de la partie \ref{commutative-algebra} et
d'aucune des suivantes.)

\subsection{Monômes et idéaux monomiaux}

On appelle \textbf{monôme} de $k[t_1,\ldots,t_d]$ un
$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$.  On dit qu'un monôme
$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$ \textbf{divise} un monôme
$t_1^{\ell'_1}\cdots t_d^{\ell'_d}$ lorsque $\ell_i \leq \ell'_i$ pour
tout $i$ (c'est bien la relation de divisibilité dans l'anneau
factoriel $k[t_1,\ldots,t_d]$, restreinte aux monômes, et le rapport
est alors lui-même un monôme).  Un \textbf{terme} est un monôme
multiplié par une constante (=élément de $k$) non nulle : on parle
alors du monôme \emph{de} ce terme.  Tout polynôme s'écrit de façon
unique comme somme de termes dont les monômes sont distincts : ce sont
les termes de (=intervenant dans) ce polynôme.

Commençons par la remarque suivante, qui est évidente, mais
essentielle :
\begin{prop}\label{divisibility-of-monomials}
Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors
pour chaque terme $c s$ de $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$ (où
$g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$) le monôme $s$ de ce terme est
divisible par l'un des $s_i$.
\end{prop}
\begin{proof}
En développant l'écriture $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$, puisque la
somme comporte le terme $c s$, au moins un des facteurs comporte un
terme dont le monôme est $s$, ce qui montre bien que $s$ est divisible
par un des $s_i$.
\end{proof}

\begin{cor}
Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, l'idéal
qu'ils engendrent est exactement l'idéal des polynômes dont le monôme
de chaque terme est divisible par un des $s_i$.
\end{cor}
\begin{proof}
On vient de montrer que si $f$ est dans $(s_1,\ldots,s_r)$ alors le
monôme de chaque terme de $f$ est divisible par un des $s_i$.
Réciproquement, si c'est le cas, $f$ est somme de termes multiples
des $s_i$, qui appartiennent donc à l'idéal engendré par les $s_i$.
\end{proof}

On appelle \textbf{idéal monomial} un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ qui
peut être engendré par des monômes : le corollaire ci-dessus montre
que si $I$ est un idéal monomial, alors tout terme d'un élément de $I$
est encore un élément de $I$.  Réciproquement, si $I$ est un idéal tel
que tout terme d'un élément de $I$ soit un élément de $I$, alors $I$
est monomial (en effet, on peut choisir un ensemble de générateurs
de $I$, et les monômes des termes de ces générateurs donnent des
éléments de $I$ qui engendrent les générateurs choisis, donc
engendrent $I$).



%
\subsection{Ordres admissibles sur les monômes}

On appelle \textbf{ordre admissible} (ou \textbf{ordre monomial}) sur
les monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$ une relation d'ordre total
$\preceq$ sur les monômes de ce dernier telle que :
\begin{itemize}
\item $1 \preceq s$ pour tout monôme $s$, et
\item si $s_1 \preceq s_2$ et $s$ est un monôme quelconque, alors $s
  s_1 \preceq s s_2$.
\end{itemize}
(On notera souvent abusivement $c s \preceq c' s'$, lorsque $cs, c's'$
sont deux termes, pour signifier que leurs monômes vérifient $s
\preceq s'$.)

Si de plus l'ordre vérifie la propriété que $\deg s < \deg s'$
implique $s \preceq s'$, on dit qu'il est \textbf{gradué}.

\begin{prop}\label{properties-of-admissible-orders}
Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de
$k[t_1,\ldots,t_d]$, alors
\begin{itemize}
\item si $s_1 | s_2$ alors $s_1 \preceq s_2$,
\item $\preceq$ est un bon ordre (c'est-à-dire : tout ensemble non
  vide de monômes a un plus petit élément pour $\preceq$, ou de façon
  équivalente, il n'y a pas de suite infinie strictement décroissante
  de monômes pour $\preceq$).
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
Le premier point est évident : si $s_2 = s s_1$ alors $1 \preceq s$
entraîne $s_1 \preceq s s_1 = s_2$.  Montrons le second : si $S$ est
un ensemble de monômes, soit $I$ l'idéal qu'ils engendrent ; comme
$k[t_1,\ldots,t_d]$ est noethérien, il existe un sous-ensemble fini
$S_0 \subseteq S$ qui engendre le même idéal $I$.  Soit $s$ le plus
petit élément de $S_0$ : on prétend que $s$ est aussi le plus petit
élément de $S$.  En effet, si $s' \in S$ alors $s' \in I$ donc $s'$
s'écrit comme combinaison d'éléments de $S_0$, mais alors
d'après \ref{divisibility-of-monomials}, $s'$ est simplement multiple d'un
élément de $S_0$, et d'après le premier point, $s\preceq s'$, ce qui
conclut.
\end{proof}

Lorsque $d=1$, le seul ordre admissible sur les monômes est évidemment
celui donné par $t^\ell \preceq t^{\ell'}$ ssi $\ell \leq \ell'$.

Une fois fixé un ordre admissible $\preceq$ sur les monômes, si $f \in
k[t_1,\ldots,t_d]$ est non nul, on note $\init_{\preceq}(f)$ (ou
simplement $\init(f)$ si l'ordre est sous-entendu) et on appelle
\textbf{terme initial} (ou \textbf{terme de tête}) de $f$ le terme au
\emph{plus grand} monôme pour l'ordre en question.  (Lorsque $d=1$,
pour le seul ordre admissible sur les monômes, ceci est simplement le
terme dominant de $f$.)  Si $f=0$ on pose (un peu abusivement)
$\init(f) = 0$.

\medbreak

Exemples importants d'ordres admissibles sur les monômes : (on
supposera toujours, quitte à renuméroter les variables, que $t_1
\preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$) :

* L'\textbf{ordre lexicographique (pur)} est défini par $t_1^{\ell_1}
\cdots t_d^{\ell_d} \mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} t_1^{\ell'_1}
\cdots t_d^{\ell'_d}$ ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus
  grand} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$.  Pour cet ordre on a donc
$1 \preceq t_1 \preceq t_1^2 \preceq t_1^3 \preceq \cdots \preceq t_2
\preceq t_1 t_2 \preceq t_1^2 t_2 \preceq \cdots \preceq t_2^2 \preceq
t_1 t_2^2 \preceq \cdots \preceq t_2^3 \preceq \cdots \preceq t_3
\preceq t_1 t_3 \preceq t_1^2 t_3 \preceq \cdots \preceq t_2 t_3
\preceq t_1 t_2 t_3 \preceq \cdots \preceq t_3^2 \preceq \cdots
\preceq t_4 \preceq \cdots$.  (Attention, l'ordre donne le poids fort
à l'exposant de la dernière variable, ce qui correspond à la
convention faite $t_1 \preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$ ; plus
généralement, tout ordre total sur l'ensemble des variables définit un
unique ordre lexicographique pur associé.)

\emph{Caractérisation :} Si $\init_{\mathtt{lex}}(f) \in
k[t_1,\ldots,t_s]$ (pour un $s\leq d$) alors $f \in
k[t_1,\ldots,t_s]$.

* L'\textbf{ordre lexicographique par degré} ou \textbf{ordre
  lexicographique gradué} est défini par $t_1^{\ell_1} \cdots
t_d^{\ell_d} \mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} t_1^{\ell'_1} \cdots
t_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$.  Autrement dit, les monômes sont classés par
degré total en priorité puis, faute de cela, par l'ordre
lexicographique pur défini ci-dessus.  Pour cet ordre, on a donc $1
\preceq t_1 \preceq t_2 \preceq t_3 \preceq t_4 \preceq \cdots \preceq
t_1^2 \preceq t_1 t_2 \preceq t_2^2 \preceq t_1 t_3 \preceq t_2 t_3
\preceq t_3^2 \preceq \cdots \preceq t_1^3 \preceq t_1^2 t_2 \preceq
t_1 t_2^2 \preceq t_2^3 \preceq t_1^2 t_3 \preceq t_1 t_2 t_3 \preceq
\cdots$.  (Même remarque que ci-dessus : il y a un tel ordre pour
chaque ordre total sur les variables.)

\emph{Caractérisation :} L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$
raffine l'ordre partiel donné par le degré total ; et si $f$ homogène
vérifie $\init_{\mathtt{glex}}(f) \in k[t_1,\ldots,t_s]$ (pour
un $s\leq d$) alors $f \in k[t_1,\ldots,t_s]$.

* L'\textbf{ordre lexicographique inversé par degré} (ou
\textbf{...gradué}) est défini par $t_1^{\ell_1} \cdots t_d^{\ell_d}
\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} t_1^{\ell'_1} \cdots
t_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ (attention au sens !) pour le
\emph{plus petit} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$.  Pour cet ordre,
on a donc $1 \preceq t_1 \preceq t_2 \preceq t_3 \preceq t_4 \preceq
\cdots \preceq t_1^2 \preceq t_1 t_2 \preceq t_1 t_3 \preceq t_1 t_4
\preceq \cdots \preceq t_2^2 \preceq t_2 t_3 \preceq \cdots \preceq
t_3^2 \preceq \cdots \preceq t_1^3 \preceq t_1^2 t_2 \preceq t_1^2 t_3
\preceq \cdots \preceq t_1 t_2^2 \preceq t_1 t_2 t_3 \preceq \cdots
\preceq t_2^3 \preceq \cdots$.  (Même remarque que ci-dessus : il y a
un tel ordre pour chaque ordre total sur les variables.  De plus,
$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ et
$\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
deux variables, une fois fixé l'ordre entre celles-ci.)

\emph{Caractérisation :} L'ordre
$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ raffine l'ordre partiel donné
par le degré total ; et si $f$ homogène vérifie
$\init_{\mathtt{grevlex}}(f) \in (t_1,\ldots,t_s)$ (pour un $s\leq d$)
alors $f \in (t_1,\ldots,t_s)$.


%
\subsection{Bases de Gröbner}

Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (et $\preceq$ un ordre
admissible), on appelle $\init_{\preceq}(I)$ l'idéal engendré par les
$\init_{\preceq}(f)$ pour tous les $f\in I$ (c'est donc un idéal
monomial).  Attention ! il n'y a aucune raison que prendre les
$\init_{\preceq}(f)$ pour $f$ parcourant des générateur de $I$ suffise
à engendrer $\init_{\preceq}(I)$.

\begin{defn}
Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre
admissible sur les monômes de ce dernier, on appelle \textbf{base de
  Gröbner} de $I$ un ensemble $f_1,\ldots,f_r$ d'éléments de $I$ tels
que $\init_{\preceq}(f_1),\ldots,\init_{\preceq}(f_r)$
engendrent $\init_{\preceq}(I)$.
\end{defn}

A priori, rien ne dit que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent $I$.  C'est
pourtant le cas :
\begin{prop}
Dans les conditions ci-dessus, on a $I = (f_1,\ldots,f_r)$.
\end{prop}
\begin{proof}
On a $I \supseteq (f_1,\ldots,f_r)$ puisque les $f_i$ sont supposés
dans $I$.  Supposons maintenant qu'il n'y ait pas égalité.  Soit $h
\in I$ un polynôme avec le monôme dans $\init(h)$ le plus petit
possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$.
Puisque $\init(h) \in \init(I)$, on peut écrire $\init(h) = g_1
\init(f_1) + \cdots + g_r \init(f_r)$ par l'hypothèse faite sur
les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$).
D'après \ref{divisibility-of-monomials}, ceci montre que $\init(h) = c s
\init(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante.  On a
alors $s f_i \in I$, et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = \init(h)$,
donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme
strictement plus petit que $h$, donc par minimalité de ce dernier, $h
- c s f_i \in (f_1,\ldots,f_r)$.  Mais alors $h \in (f_1,\ldots,f_r)$,
une contradiction.
\end{proof}

Une évidence : tout idéal admet une base de Gröbner.  En effet, parmi
les $\init(f)$ pour $f\in I$ qui engendrent $\init(I)$ on peut
extraire un ensemble fini engendrant $\init(I)$ --- il s'agit d'une
base de Gröbner de $I$.

\begin{algo}[algorithme de division]\label{division-algorithm}
Soient $f,f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre
admissible sur les monômes.  Alors il existe une écriture
\[
f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho
\tag{$*$}
\]
où $g_1,\ldots,g_r,\rho \in k[t_1,\ldots,t_d]$, où aucun des monômes
de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$, et où $\init(g_i
f_i) \preceq \init(f)$ pour chaque $i$ ; et on va donner un algorithme
pour calculer cette écriture ; un tel $\rho$ s'appelle un
\textbf{reste} de $f$ par rapport au $f_1,\ldots,f_r$ et pour l'ordre
monomial $\preceq$ (on dit aussi que l'écriture ($*$) s'appelle une
\textbf{écriture standard} de $f$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ et
pour cet ordre monomial).

Lorsque les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner (d'un
idéal $I = (f_1,\ldots,f_r)$), on a $f \in (f_1,\ldots,f_r)$ si et
seulement si $\rho = 0$, et $\rho$ est défini de façon unique par $f$.
\end{algo}

\begin{proof}[Description de l'algorithme]
Si aucun terme de $f$ n'est divisible par aucun des $\init(f_i)$,
retourner $\rho = f$ (et tous les $g_i = 0$).  Sinon, soit $c s
\init(f_i)$ (où $c\neq 0$ est une constante et $s$ un monôme) le
$\preceq$-plus grand terme de $f$ qui soit divisible par un
des $\init(f_i)$ : on applique récursivement l'algorithme à $f' = f -
c s f_i$ (qui vérifie $\init(f') \preceq \init(f)$), si $f' = g'_1 f_1
+ \cdots + g'_r f_r + \rho'$ est le résultat, renvoyer $g_j = g'_j$
sauf $g_i = g'_i + c s$, et $\rho = \rho'$.
\end{proof}

\begin{proof}
L'algorithme termine car le $\preceq$-plus grand monôme de $f$
divisible par un des $\init(f_i)$ décroît strictement à chaque
itération, or $\preceq$ est un bon ordre
(cf. \ref{properties-of-admissible-orders}).  La propriété sur $\rho$
est évidente.  La propriété $\init(g_j f_j) \preceq \init(f)$ découle
par induction de $\init(g'_j f_j) \preceq \init(f') \preceq \init(f)$
et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = c\init(f)$.

Si $\rho = 0$, le fait que $f \in (f_1,\ldots,f_r)$ est trivial.  Si
$f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner et $f \in
(f_1,\ldots,f_r)$, comme on a aussi $\rho \in (f_1,\ldots,f_r)$, alors
$\init(\rho) \in (\init(f_1),\ldots,\init(f_r))$, ce qui vu le fait
qu'aucun monôme de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$,
n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibility-of-monomials}) ; de
même, si $\rho$ et $\rho'$ sont deux restes différents du même $f$,
disons $f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho$ et $f = g'_1 f_1 +
\cdots + g'_r f_r + \rho'$, alors $(g'_1-g_1) f_1 + \cdots +
(g'_r-g_r) f_r + (\rho'-\rho)$ est une écriture standard de $0$, donc
$\rho'=\rho$.
\end{proof}

\textbf{Moralité :} Connaître une base de Gröbner d'un idéal $I$
permet de répondre à la question de savoir si $f\in I$ pour un idéal
donné.  Mieux, si $(f_1,\ldots,f_r)$ est cette base de Gröbner,
l'ensemble des classes des monômes qui ne sont divisibles par aucun
des $\init(f_i)$ constitue une base de $k[t_1,\ldots,t_d]/I$, ce qui,
avec l'algorithme de division, permet de calculer dans l'anneau en
question.

Lorsque $f_1,\ldots,f_r$ ne forment pas une base de Gröbner, on peut
très bien avoir $\rho \neq 0$ et pourtant que $\rho$
(c'est-à-dire, $f$) appartienne à l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$.  Par
exemple, pour deux polynômes, $g_1 f_1 + g_2 f_2$ pourrait avoir un
coefficient initial beaucoup plus petit que ceux de $f_1,f_2$ à cause
d'une annulation entre ceux-ci (dans ce cas, l'algorithme de division
appliqué à $g_1 f_1 + g_2 f_2$ par rapport à $f_1,f_2$ donnerait $g_1
f_1 + g_2 f_2$ lui-même comme reste, bien que ce polynôme appartienne
à $(f_1,f_2)$).  L'algorithme de Buchberger pour calculer les bases de
Gröbner se fonde sur l'idée qu'il suffit d'éviter ce phénomène.


%
\subsection{L'algorithme de Buchberger}

Soient $f_1,\ldots,f_r\in k[t_1,\ldots,t_d]$ : pour chaque
couple $(i,j)$ (où $i \neq j$), on définit le \textbf{polynôme de
  syzygie} entre $f_i$ et $f_j$ :
\[
\begin{array}{c}
f_{i,j} = c_{j,i} s_{j,i} f_i - c_{i,j} s_{i,j} f_j\\
\hbox{où~}
c_{i,j} s_{i,j} = \init(f_i)/\pgcd(\init(f_i),\init(f_j))
\end{array}
\]
Le pgcd (unitaire) de deux termes $c s$ et $c' s'$ étant défini comme
le plus grand monôme (pour n'importe quel ordre admissible, ou pour
l'ordre partiel de divisibilité) parmi les monômes qui divisent à la
fois $s$ et $s'$ (c'est-à-dire $t_1^{\min(\ell_1,\ell'_1)} \cdots
t_d^{\min(\ell_d,\ell'_d)}$ si $s = t_1^{\ell_1} \cdots t_d^{\ell_d}$
et $s' = t_1^{\ell'_1} \cdots t_d^{\ell'_d}$).  Remarquons que
$c_{i,j} s_{i,j} f_i$ et $c_{j,i} s_{j,i} f_j$ ont le même terme
initial, de sorte que celui de $f_{i,j}$ a un monôme strictement plus
petit.  (Bien sûr, $f_{i,i} = 0$ pour tout $i$, donc on ne s'intéresse
qu'aux $f_{i,j}$ pour $i\neq j$.)

On appelle \textbf{module des relations} entre $f_1,\ldots,f_r$
l'ensemble (qui est un sous-module de $(k[t_1,\ldots,t_d])^r$, d'où le
terme) des $(g_1,\ldots,g_r)$ tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r =
0$, ces $(g_1,\ldots,g_r)$ étant appelés des \textbf{relations} entre
les $f_i$ (relation non-triviale si les $g_i$ ne sont pas tous nuls).

Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{division-algorithm})
de $f_{i,j}$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ (pour un ordre
monomial $\preceq$) : si les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de
Gröbner alors $\rho_{i,j} = 0$ puisque $f_{i,j} \in (f_1,\ldots,f_r)$.
Ce qui est plus surprenant est que la réciproque est également vraie :

\begin{thm}[critère de Buchberger]
Avec les notations ci-dessus, on a $\rho_{i,j} = 0$ pour tous $i,j$ si
et seulement $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner (de l'idéal
qu'ils engendrent).

(Spears-Schreyer) De plus, lorsque c'est le cas, les relations
$c_{j,i} s_{j,i} f_i - c_{i,j} s_{i,j} f_j - \sum_u g^{(i,j)}_u f_u$,
où $f_{i,j} = g^{(i,j)}_1 f_1 + \cdots + g^{(i,j)}_r f_r$ est une
écriture standard de $f_{i,j}$, engendrent\footnote{En fait, les
  relations en question forment elles-même une base de Gröbner du
  module des relations, si on prend la peine de définir la notion de
  « base de Gröbner » d'un module et non seulement d'un idéal, pour un
  ordre admissible sur les monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]^r$ qui se
  déduit facilement de $\preceq$.} le module des relations
entre $f_1,\ldots,f_r$.
\end{thm}

\begin{algo}[algorithme de Buchberger]
Donné $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, on peut calculer
effectivement une base de Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent.
\end{algo}
\begin{proof}[Description de l'algorithme]
Calculer les $\rho_{i,j}$ définis plus hauts : si les $\rho_{i,j}$
sont tous nuls, terminer (les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de
Gröbner).  Si un des $\rho_{i,j}$ est non nul, dès qu'on le trouve,
ajouter ce $\rho_{i,j}$ parmi les $f_1,\ldots,f_r$ (c'est-à-dire,
recommencer l'algorithme avec $f_1,\ldots,f_r,\rho_{i,j}$).
\end{proof}
\begin{proof}
L'algorithme termine car l'idéal engendré par
$\init(f_1),\ldots,\init(f_r)$ ne cesse de croître strictement : le
processus doit donc terminer, ce qui ne peut se produire que parce que
tous les $\rho_{i,j}$ sont tous nuls, et le critère précédent permet
de dire qu'on a bien une base de Gröbner.
\end{proof}

\medbreak

\textbf{Bases de Gröbner réduites.}

\begin{defn}
Une base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ est dite \textbf{réduite}
lorsque, pour $i\neq j$, le monôme du terme $\init(f_i)$ ne divise
aucun des monômes apparaissant dans $f_j$, et si, de plus, chacun des
termes $\init(f_i)$ est unitaire (=la constante devant le monôme
est $1$).
\end{defn}

On peut facilement calculer une base de Gröbner réduite à partir d'une
base de Gröbner, en soustrayant, pour chaque $f_j$, chaque terme
divisible par un des $\init(f_i)$ (et en commençant par le plus grand
pour l'ordre monomial), le multiple de $f_i$ qui permet de l'annuler,
et en répétant cette opération aussi souvent que nécessaire (il est
clair que cela termine).  Il faut, bien sûr, retirer tous les éléments
nuls, puis normaliser à $1$ la constante devant le monôme initial de
chaque $f_i$.

\begin{prop}
Pour un idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et un ordre
admissible $\preceq$, il existe une unique base de Gröbner réduite (on
l'appelle donc \emph{la} base de Gröbner réduite de $I$ pour cet
ordre).
\end{prop}


%
\subsection{Bases de Gröbner et élimination}

\begin{prop}
Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $s\leq d$ : si
$f_1,\ldots,f_r$ est une base de Gröbner de $I$ pour
l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}}$ (où on est convenu que $t_1
\preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$), alors ceux des $f_i$ qui
appartiennent à $k[t_1,\ldots,t_s]$ forment une base de Gröbner de $I
\cap k[t_1,\ldots,t_s]$.
\end{prop}

(En fait, il suffit que l'ordre $\preceq$ utilisé vérifie la
propriété : si $\init_{\preceq}(f) \in k[t_1,\ldots,t_s]$ alors $f \in
k[t_1,\ldots,t_s]$.  Une façon parfois plus efficace que l'ordre
lexicographique pur, \emph{si on connaît $s$ à l'avance}, consiste à
prendre l'ordre sur le degré total en les seules variables
$t_1,\ldots,t_s$ comme premier critère de comparaison, et en cas
d'égalité comparer avec $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.)

\begin{prop}\label{projection-by-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $s \leq d$.  Alors $Z(I
\cap k[t_1,\ldots,t_s])$ est l'adhérence de Zariski dans
$\mathbb{A}^s$ de la projection (c'est-à-dire l'image au sens
de \ref{image-of-a-morphism} par le morphisme $\mathbb{A}^d \to
\mathbb{A}^s$ qui projette sur les $s$ premières coordonnées
c'est-à-dire $(x_1,\ldots,x_d) \mapsto (x_1,\ldots,x_d)$) de $Z(I)$.
\end{prop}



%
%
%

\section{Les courbes}

\subsection{Corps des fonctions et morphismes vers $\mathbb{P}^1$}

\begin{defn}
On appelle \textbf{courbe (projective lisse)} sur un corps $k$ une
variété algébrique projective lisse géométriquement
irréductible\footnote{C'est-à-dire qu'elle est irréductible quand on
  la voit sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.} de
dimension $1$ sur $k$.  Lorsque la variété n'est pas supposée lisse,
on parle de courbe « non nécessairement lisse ».
\end{defn}

Les fermés de Zariski d'une courbe qui ne sont pas la courbe tout
entière sont de dimension zéro (cf. \ref{hauptidealsatz}) donc sont
(sur $k^{\alg}$) des réunions finies de points.

Si $C$ est une courbe non nécessairement lisse, on note $k(C)$ le
corps des fonctions rationnelles sur $C$
(cf. \ref{definition-rational-function-and-dimension}).  Rappelons
qu'il s'agit des fonctions régulières sur un ouvert non-vide (=dense)
de $C$, définies sur $k$ (où on identifie deux fonctions quand elles
coïncident sur l'intersection des ouverts sur lesquels elles sont
données) ; on l'appelle simplement \textbf{corps des fonctions}
de $C$.  On a $k(C) = \Frac(\mathcal{O}(U))$ pour n'importe quel
ouvert affine\footnote{\label{footnote-affine}En fait, on verra que
  tout ouvert de $C$ différent de $C$ est automatiquement affine.}
non-vide (=dense) de $C$.  On appelle évidemment \textbf{constantes}
les éléments de $k$ vus dans $k(C)$.

On note aussi $k^{\alg}(C)$ le corps des fonctions rationnelles
sur $C_{k^{\alg}}$, c'est-à-dire après passage à la clôture algébrique
$k^{\alg}$ de $k$.  On voit $k(C)$ à l'intérieur de $k^{\alg}(C)$ ;
pour $k$ parfait, le corps $k(C)$ est simplement le corps des éléments
de $k^{\alg}(C)$ fixés par le groupe de Galois absolu de $k$.

Le degré de transcendance de $k(C)$ (ou $k^{\alg}(C)$) sur $k$
(ou $k^{\alg}$, s'agissant de $k^{\alg}(C)$) est $1$ : c'est-à-dire
qu'il existe des éléments de $k(C)$ n'appartenant pas à $k^{\alg}$, et
que deux tels éléments sont toujours algébriques l'un par rapport à
l'autre.

\textbf{Exemple :} $\mathbb{P}^1$ sur $k$ est une courbe sur $k$, son
corps des fonctions est $k(\mathbb{P}^1) = k(t)$ où $t$ est un
paramètre affine quelconque sur $\mathbb{P}^1$ ; et on a bien sûr
$k^{\alg}(\mathbb{P}^1) = k^{\alg}(t)$.

\medbreak

\begin{defn}
Soit $X$ une variété quasiprojective irréductible (non nécessairement
lisse), et $P$ un $k^{\alg}$-point de $X$, on note $\mathcal{O}_{X,P}$
et on appelle \textbf{anneau local de $X$ en $P$} le sous-anneau de
$k(X)$ formé des fonctions rationnelles qui sont données sur un ouvert
contenant $P$.  Ces fonctions sont dites \textbf{régulières en $P$}.
\end{defn}

Grâce au recollement on peut affirmer que, si $U$ est la réunion de
tous les ouverts sur lesquels $f$ peut être donnée comme une fonction
régulière, on peut effectivement représenter $f$ comme une fonction
régulière sur tout $U$ : on appelle $U$ \textbf{l'ouvert de
  régularité} de $f$ (ou parfois l'ouvert de définition).

On peut décrire $\mathcal{O}_{X,P}$ autrement : si $U$ est un ouvert
affine contenant $P$, et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal maximal de
$\mathcal{O}(U)$ des fonctions s'annulant en $P$, alors
$\mathcal{O}_{X,P}$ est le \emph{localisé} de $\mathcal{O}(U)$ en
l'idéal $\mathfrak{m}_P$ (c'est-à-dire inversant toutes les fonctions
qui ne sont pas dans $\mathfrak{m}_P$, cf. les remarques suivant
\ref{properties-localization}).  Il s'agit bien d'un anneau local au sens
définit en \ref{subsection-reduced-and-integral-rings}.

\medbreak

Le fait suivant peut sembler clair, mais il joue un rôle
crucial\footnote{Pour voir qu'il n'est pas vrai de façon plus
  générale, penser à la fonction rationnelle $x/y$ sur $\mathbb{P}^2$,
  où $x,y$ sont deux des trois coordonnées homogènes : ni elle ni son
  inverse ne sont régulières au point $x=y=0$.} pour expliquer
pourquoi la dimension $1$ est particulièrement simple :
\begin{prop}
Si $C$ est une courbe non nécessairement lisse, et $P$ un
$k^{\alg}$-point \emph{lisse} de $C$, alors pour tout $f \in k(C)$ non
nul on a $f \in \mathcal{O}_{C,P}$ ou bien $f^{-1} \in
\mathcal{O}_{C,P}$.

Autrement dit : pour $f$ une fonction rationnelle sur une courbe $C$
et $P$ un point lisse sur $C$, si $f$ n'est pas régulière en $P$ alors
$f^{-1}$ l'est.
\end{prop}

Pour $C$ une courbe (lisse), on peut considérer une fonction
rationnelle $f \in k(C)$ comme une fonction régulière $U \to
\mathbb{A}^1$ sur son ouvert $U$ de régularité (l'ensemble des points
où $f$ est régulière).  La proposition affirme donc que les ouverts de
régularité $U$ de $f$ et $U'$ de $f^{-1}$ recouvrent $C$.  Les
morphismes $U \to \mathbb{P}^1$ et $U' \to \mathbb{P}^1$ définis par
$P \mapsto (1:f(P))$ et $P \mapsto (f^{-1}(P):1)$ se recollent et
définissent donc un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ qu'on veut
identifier à $f$.  Réciproquement, tout morphisme $C \to \mathbb{P}^1$
qui n'est pas constamment égal à $\infty$ (=le point complémentaire
de $\mathbb{A}^1$) définit une fonction régulière sur l'ouvert $U =
f^{-1}(\mathbb{A}^1)$ de $C$.  On a donc expliqué pourquoi :
\begin{prop}\label{rational-function-on-a-curve-is-regular}
Si $C$ est une courbe (lisse), les fonctions rationnelles sur $C$
s'identifient (comme expliqué ci-dessus) aux morphismes $C \to
\mathbb{P}^1$ non constamment égaux à $\infty$.

Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une
variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier.
\end{prop}

\bigbreak

\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.}\label{remark-on-galois} Quand on considère les points
d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est
parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément
(qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois
il est préférable de considérer ensemble tous les $k^{\alg}$-points
qui s'envoie les uns sur les autres par l'action du groupe de Galois
absolu $\Gal(k)$ de $k$, c'est-à-dire les « orbites galoisiennes » de
points géométriques, qu'on appelle aussi \emph{points fermés}.  Par
exemple, pour droite affine $\mathbb{A}^1$ réelle, les
$\mathbb{C}$-points $i$ et $-i$ constituent collectivement un point
fermé, défini par l'équation $t^2+1$.  L'intérêt des points fermés est
qu'ils correspondent aux idéaux maximaux (sur $k$) pour une variété
affine sur $k$ (exemple : l'idéal des polynômes réels s'annulant en
$i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$,
c'est l'idéal engendré par $t^2+1$).  On appelle \emph{degré} d'un
point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est
aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps
résiduel $\kappa(P) = \mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine
et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$.
Certains résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de
degré $n$, d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant
une orbite galoisienne).



%
\subsection{Valuation d'une fonction en un point}

Soit $C$ une courbe (non nécessairement lisse) et $P$ un
$k^{\alg}$-point lisse sur $C$.  On appelle $\mathfrak{m}_P$ l'idéal
dans $\mathcal{O}_{C,P}$ formé des fonctions s'annulant en $P$.

\begin{prop}\label{properties-valuation}
Avec les notations ci-dessus, il existe une unique fonction $\ord_P
\colon k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant :
\begin{itemize}
\item si $\ord_P(f) = +\infty$ ssi $f=0$, et $\ord_P(c) = 0$ pour tout
  $c \in k^\times$,
\item si $f,g \in k(C)$, on a $\ord_P(f+g) \geq
  \min(\ord_P(f),\ord_P(g))$ (note : ceci implique qu'il y a égalité
  si $\ord_P(f) \neq \ord_P(g)$),
\item si $f,g \in k(C)$, on a $\ord_P(fg) = \ord_P(f) + \ord_P(g)$,
\item on a $\ord_P(f) \geq 0$ ssi $f \in \mathcal{O}_{C,P}$ (i.e.,
  $f$ est régulière en $P$), et $\ord_P(f) > 0$ ssi $f \in
  \mathfrak{m}_P$ (i.e., $f$ s'annule en $P$),
\item il existe des $f$ tels que $\ord_P(f) = 1$.
\end{itemize}
\end{prop}

Cette fonction s'appelle la \textbf{valuation en $P$} ou
l'\textbf{ordre (du zéro) en $P$}.  Lorsque $\ord_P(f) = v > 0$, on
dit que $f$ a un zéro d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) = (-v) <
0$, on dit que $f$ a un pôle d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) =
0$, on dit que $f$ est inversible en $P$ (cela signifie bien que $f$
est inversible dans $\mathcal{O}_{C,P}$) ; lorsque $\ord_P(f) = 1$, on
dit que $f$ est une \textbf{uniformisante} en $P$ (il n'est pas
difficile de voir que cela signifie que $f$ engendre
l'idéal $\mathfrak{m}_P$).

\textbf{Exemple :} Si on voit $k(t)$ comme $k(\mathbb{P}^1)$, alors
\begin{itemize}
\item pour $P \in \mathbb{A}^1(k) = k$, la valuation en $P$ est bien
  l'ordre d'annulation en $P$ de la fraction rationnelle $f$ (en
  particulier, si $f$ est un polynôme, $\ord_P(f)$ est la multiplicité
  de $(t-P)$ dans la décomposition en facteurs irréductibles de $f$ ;
  et si $P = 0$, c'est ce qu'on appelle souvent, sans autre précision,
  la valuation d'un polynôme) ;
\item pour $P = \infty$, la valuation en $\infty$ d'un polynôme est
  l'opposé de son degré, et la valuatin en $\infty$ d'une fraction
  rationnelle $f$ est le degré de son dénominateur moins le degré de
  son numérateur ;
\item pour $P \in \mathbb{A}^1(k^{alg}) = k^{\alg}$, la valuation en
  $P$ d'un polynôme $f$ est la multiplicité de $\mu_P$ dans la
  décomposition en facteurs irréductibles de celui-ci, où $\mu_P$ est
  le polynôme minimal de $P$ (par exemple, sur les réels,
  $\ord_i(t^2+1) = 1$), et pour une fraction rationnelle on peut bien
  sûr le calculer comme l'ordre du numérateur moins celui du
  dénominateur.
\end{itemize}

Remarquons que $\ord_P(f)$ est le même que $f$ soit considéré comme
vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité
affirmée pour la fonction $\ord_P$).  Par ailleurs, pour $f \in k(C)$,
on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$
(le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne
dépend que de l'orbite de $P$ par $\Gal(k)$ (c'est-à-dire, du point
fermé défini par $P$).

\begin{prop}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Alors toute fonction
$k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant les trois premières
et la dernière des propriétés énumérées pour $\ord_P$
en \ref{properties-valuation} est de la forme $\ord_P$ pour un certain
$P \in C(k^{\alg})$.
\end{prop}

Les $\ord_P$ sont distinctes lorsque les points $P$ ne sont pas
conjugués par Galois (cf. ci-dessus) : on va voir un résultat plus
précis affirmant qu'elles sont, en fait, aussi indépendantes que
possible (\ref{approximation-lemma} ci-dessous).

\begin{prop}\label{basic-ord-facts}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ :
\begin{itemize}
\item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in
  C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$.
\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $P \in C(k^{\alg})$, alors $f
  \in k$ (la fonction est constante).
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
La première affirmation vient de ce que tout fermé de Zariski d'une
courbe est fini.  La seconde découle de ce que toute fonction
régulière (ce qu'est un $f$ comme annoncé) sur une variété projective
connexe est constante
(cf. \ref{projective-to-affine-morphisms-are-constant}).
\end{proof}

\begin{prop}[lemme d'approximation]\label{approximation-lemma}
Soit $C$ une courbe sur un corps $k$ et $U$ un ouvert
affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$.  Soient
$Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre
sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à
deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont
deux à deux distincts, =définissant des points fermés deux à deux
distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et $v_1,\ldots,v_s \in
\mathbb{Z}$.  Alors il existe $f \in k(C)$ telle que
\[
\begin{array}{cl}
\ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\
\ord_{P}(f) \geq 0&\hbox{~pour tout $P \in U \setminus \{\sigma(Q_i)\}$}\\
\end{array}
\]
\end{prop}

\emph{Moralité :} On peut toujours trouver une fonction $f$ qui
approche les fonctions $f_i$ spécifiées à l'ordre $v_i$ spécifié aux
points $Q_i$ spécifiés, et qui soit régulière à tout point de $U$ sauf
évidemment ceux pour lesquels la condition imposée demande qu'ils ne
le soient pas.

\emph{Remarque :} Ce résultat recouvre l'existence des polynômes
interpolateurs de Lagrange (pour $C = \mathbb{P}^1$ et $U =
\mathbb{A}^1$, les $f_i$ des polynômes ayant les développements de
Taylor souhaités aux ordres $v_i$, le résultat montre qu'il existe un
polynôme $f$ ayant les développements spécifiés aux ordres spécifiés).

\begin{proof}[Idée de démonstration]
Pour $Q \in U$, si $\mathfrak{m}_{Q}$ désigne l'idéal des fonctions de
$\mathcal{O}(U)$ s'annulant en $Q$, i.e., telles que $\ord_Q(h) \geq
1$, le point clé est que $\mathfrak{m}_Q \neq \mathfrak{m}_{Q'}$ si
$Q$ et $Q'$ ne sont pas conjugués par Galois, donc il existe une
fonction $h \in \mathcal{O}(U)$ telle que $\ord_Q(h) \geq 1$ et
$\ord_{Q'}(h) = 0$, et, quitte à diviser par une constante, autant
supposer $h(Q') = 1$, et une autre $h'$ telle que $h'(Q) = 1$ et
$\ord_{Q'}(h') \geq 1$.  Quitte à multiplier de telles fonctions entre
elles et à les elever à des puissances assez grandes, on peut obtenir
des $h_i$ telles que $h_i(Q_i) = 1$ et $\ord_{Q_j}(h_i) \geq
\min(1,v_i)$ si $j\neq i$.  Lorsque les $f_i$ sont dans
$\mathcal{O}(U)$, poser $f = \sum_i f_i h_i$ convient.  Sinon, on met
les $f_i$ sur un même dénominateur et en cherchant $h$ comme une
fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème
d'approximation sur le numérateur.
\end{proof}

\begin{prop}\label{dimension-of-space-of-jets}
Soit $P$ un $k^{\alg}$-point lisse d'une courbe $C$ non nécessairement
lisse sur un corps $k$, et pour $v\geq 0$ soit $\mathfrak{m}^v_P = \{f
\in k(C) : \ord_P(f) \geq v\}$ (idéal de $\mathcal{O}_{C,P}$).  Alors
$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ est un espace vectoriel de
dimension $v$ sur le corps $\kappa(P) := \mathcal{O}_{C,P} /
\mathfrak{m}_P$, donc $dv$ sur $k$, où $d$ est le degré de $P$,
c'est-à-dire (pour $k$ parfait) le nombre de conjugués de $P$ sous
l'action de Galois.
\end{prop}
\begin{proof}
Il existe une uniformisante $t$ de $C$ en $P$ : il n'est pas difficile
de voir que $1,t,t^2,\ldots,t^{v-1}$ forment une base de
$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$
(cf. \ref{remark-on-galois} pour la dimension de $\kappa(P)$ sur $k$).
\end{proof}



%
\subsection{Morphismes entre courbes}

\begin{prop}\label{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}
Tout morphisme entre courbes non nécessairement lisses est soit
constant ou surjectif.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $h \colon C' \to C$ un tel morphisme.  Puisque $C'$ est
projective, l'image de $h$ est un fermé dans $C$
(cf. \ref{image-of-a-morphism-chevalley}).  Si c'est $C$, le morphisme
est surjectif.  Sinon, c'est un ensemble fini, et comme $C'$ est
connexe, il est réduit à un point, donc $h$ est constant.
\end{proof}

Si $h\colon C' \to C$ est un morphisme non constant de courbes
sur $k$, à tout $f \in k(C)$, vu comme un morphisme $C \to
\mathbb{P}^1$ (non constamment égal à $\infty$), on peut associer
$h^*(f) := h\circ f \colon C' \to \mathbb{P}^1$ vu comme un élément de
$k(C')$ (car il est n'est pas constant égal à $\infty$).  (Si on
préfère, pour $U$ ouvert affine de $C$, le morphisme d'algèbres $h^*
\colon \mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(h^{-1}(U))$ donne un $h^* \colon
k(C) \to k(C')$ entre les corps des fractions ; ceci fonctionne même
si $C,C'$ ne sont pas supposées lisses.)  Il s'agit d'un morphisme de
$k$-algèbres qui sont des corps, donc automatiquement injectif :
c'est-à-dire que $h^*$ plonge $k(C)$ comme un sous-corps de $k(C')$
(en commutant à l'action du groupe de Galois, et en particulier en
préservant $k$).  Avec ce plongement, $k(C')$ est une extension
\emph{algébrique} de $k(C)$ (car tous deux ont le même degré de
transcendance, $1$, sur $k$), et $k(C')$ est engendré en tant que
corps, sur $k$ donc sur $k(C)$, par un nombre fini d'éléments : ceci
montre que $k(C')$ est une \emph{extension finie} de $k(C)$
(c'est-à-dire, de dimension finie comme $k(C)$-espace vectoriel), et
son degré (=sa dimension comme $k(C)$-espace vectoriel) s'appelle le
\textbf{degré} de $h$, noté $\deg h$.  Lorsque $h$ est un morphisme
constant, on pose $\deg h = 0$.

\textbf{Exemple :} Si $h \in k[t]$, on peut voir $h$ comme un
morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ (par $(t_0:t_1) \mapsto
(t_0^{\deg h} : t_0^{\deg h}\,h(t_1/t_0))$,
cf. \ref{subsection-affine-vs-projective} ; ou, de façon équivalente,
en considérant $h$ comme un élément de $k(t) = k(\mathbb{P}^1)$ qui
définit donc un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$).
L'inclusion $h^*$ est celle qui considère $k(u)$ pour $u = h(t)$ comme
un sous-corps de $k(t)$.  Manifestement, le polynôme minimal de $t$
sur $k(u)$ est justement $h(x)-u$ (écrit en l'indéterminée $x$), qui
est de degré $\deg h$, donc le degré de $h$ en tant que polynôme ou en
tant que morphisme est le même !

\textbf{Fonctorialité :} Si $C'' \buildrel h'\over\to C' \buildrel
h\over\to C$ sont deux morphismes entre courbes, on a $(h'\circ h)^* =
h^* \circ h^{\prime*}$, c'est-à-dire que $k(C)$ se voit à l'intérieur
de $k(C')$ quand celui-ci se voit à l'intérieur de $k(C'')$.  Grâce à
la composition des degrés dans les extensions de corps, on a $\deg
(h'\circ h) = \deg(h') \cdot \deg(h)$.

\begin{prop}\label{function-map-on-curves-is-fully-faithful}
Si $C, C'$ sont deux courbes sur $k$, où $C$ peut ne pas être lisse
(mais $C'$ est tenue de l'être), et si $\iota\colon k(C) \to k(C')$
est une inclusion fixant $k$ du corps $k(C)$ dans $k(C')$, alors il
existe un unique morphisme $h\colon C' \to C$ de courbes sur $k$ tel
que $\iota = h^*$.
\end{prop}
\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
Si $C \subseteq \mathbb{P}^d$, on peut considérer les rapports
$t_1/t_0, \ldots, t_d/t_0$ de coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^d$
comme des éléments de $k(C)$.  Leurs images par $\iota$ dans $k(C')$
définissent un morphisme d'un ouvert non vide de $C'$
vers $\mathbb{P}^d$, donc de tout $C'$ vers $\mathbb{P}^d$
(cf. \ref{rational-function-on-a-curve-is-regular}), et comme ces
fonctions vérifient les équations de $C$ dans $\mathbb{P}^d$, on a un
morphisme $C' \buildrel h\over\to C$, qui vérifie $h^* = \iota$.  De
plus, une fois $C$ plongé dans $\mathbb{P}^d$ comme on l'a fait,
c'était le seul morphisme possible, donc on a bien l'unicité.
\end{proof}

\begin{cor}\label{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}
Si $C, C'$ sont deux courbes (lisses) sur $k$ et $h\colon C'\to C$ un
morphisme de degré $1$, alors $h$ est un isomorphisme.
\end{cor}
\begin{proof}
Dire que $h$ est un morphisme de degré $1$ signifie que $h^*$ est un
isomorphisme de $k(C)$ avec $k(C')$.  Son isomorphisme réciproque peut
lui-même s'écrire sous la forme $g^*$ d'après la proposition qui
précède, et les relations de fonctorialité $(h\circ g)^* = g^* \circ
h^*$ et $(g \circ h)^* = h^* \circ g^*$ ainsi que l'unicité du
morphisme dans la proposition montrent que $h \circ g = \id_{C'}$ et
$g \circ h = \id_C$.
\end{proof}

\medbreak

Revenons brièvement sur le corps des fonctions d'une courbe.

On sait que $k(C)$ est engendré (en tant que corps)\footnote{Ceci
  signifie qu'il existe $x_1,\ldots,x_r \in k(C)$ tels que tout
  sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et $x_1,\ldots,x_r$ soit $k(C)$
  tout entier.} par un nombre fini d'éléments au-dessus de $k$ (en
effet, si $U$ est un ouvert affine non-vide de $C$, alors
$\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et si
$x_1,\ldots,x_r$ en sont des générateurs, ils engendrent aussi $k(C) =
\Frac(\mathcal{O}(U))$ en tant que corps sur $k$).  D'autre part,
remarquons que $k^{\alg} \cap k(C) = k$ (ce qui est clair si on a
décrit $k(C)$ comme les éléments de $k^{\alg}(C)$ fixes par Galois),
c'est-à-dire que tout élément de $k(C)$ algébrique sur $k$ est en fait
dans $k(C)$.  Ces remarques sont pertinentes car :
\begin{prop}
Soit $K$ un corps contenant $k$, de degré de transcendance $1$ dessus,
engendré en tant que corps par un nombre fini d'éléments au-dessus
de $k$ (ou, de façon équivalente, $K$ est de degré \emph{fini}
sur $k(t)$ où $t \in K$ est transcendant sur $k$), et tel que $k$ soit
algébriquement fermé dans $K$.  Alors $K$ est le corps des fonctions
$k(C)$ d'une certaine courbe (lisse) $C$ sur $k$.
\end{prop}

Le corollaire suivant permet d'oublier les courbes non lisses :
\begin{cor}
Soit $C$ une courbe non nécessairement lisse.  Alors il existe un
morphisme $\tilde C \to C$ depuis une courbe lisse $\tilde C$
vers $C$, unique à isomorphisme unique près de $\tilde C$
au-dessus\footnote{Ceci signifie que si $\tilde C \buildrel\nu\over\to
  C$ et $\tilde C' \buildrel\nu'\over\to C$ sont deux morphismes comme
  expliqué, alors il existe un unique isomorphisme $\tilde C'
  \buildrel h\over\to \tilde C$ tel que $\nu' = h\circ \nu$.} de $C$,
qui soit de degré $1$, c'est-à-dire que $\nu^*$ identifie $k(C)$
à $k(\tilde C)$.  La courbe $\tilde C$ s'appelle la
\textbf{normalisation} de $C$.
\end{cor}
\begin{proof}
La proposition garantit qu'il existe une courbe lisse $\tilde C$ de
corps des fonctions $k(C)$.  Le morphisme identité $k(C) \to k(\tilde
C)$ donne alors d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful}
le morphisme $\nu \colon \tilde C \to C$ désiré.  L'unicité est
analogue à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}.
\end{proof}

\begin{cor}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Si $K$ est un
sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et tel que $k(C)$ soit fini sur $K$
(c'est-à-dire, de dimension finie comme $K$-espace vectoriel), alors
il existe une courbe $C_0$ et un morphisme $h\colon C \to C_0$, unique
à isomorphisme près de $C_0$ au-dessous de $C$, tel que $h^*$ plonge
$k(C_0)$ comme le sous-corps $K$ de $k(C)$.
\end{cor}
\begin{proof}
Le corps $K$ est de degré de transcendance $1$ sur $k$ car $k(C)$ est
algébrique sur $K$ ; et $k$ est algébriquement fermé dans $K$.  Le
point non-évident est que $K$ est engendré par un nombre fini
d'éléments sur $k$ : mais $K$ contient un élément $t$ transcendant
sur $k$, et $k(C)$, donc $K$, est de degré fini sur $k(t)$.  Ainsi $K$
peut bien s'écrire comme $k(C_0)$ pour une certaine courbe $C_0$, et
l'inclusion $K = k(C_0) \to k(C)$ fournit un morphisme $C \to C_0$
d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful}.  De nouveau,
l'unicité découle aussi
de \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} de manière analogue
à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}.
\end{proof}



%
\subsection{Ramification d'un morphisme}

\begin{prop}
Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes
sur $k$, pour tout point $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$), il existe un
(unique) entier $e_P \geq 1$ tel que $\ord_P h^*(f) = e_P \ord_{h(P)}
f$ pour tout $f \in k(C)$.  On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de
  ramification} de $h$ en $P$.
\end{prop}

\begin{rmk}\label{ramification-of-functions-as-morphisms}
Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un
morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong
k(h) \subseteq k(C)$.  En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P
= \ord_P h$ pour tout $P$ tel que $h(P)=0$.  Si $P$ est tel que $h(P)
= \infty$ alors $e_P = -\ord_P h$.  Enfin, si $h(P)$ n'est ni $0$ ni
$\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$.
\end{rmk}

\begin{prop}
Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de
ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$
(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un
isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement
  que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à
  l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de
$k^{\alg}$-espaces vectoriels de dimension $1$,
cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in
  fine}).
\end{prop}

\begin{prop}\label{sum-of-ramification-degrees}
Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
sur $k$.  Pour tout point $Q$ de $C$, on a
\[
\sum_{h(P)=Q} e_P = \deg h
\]
où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$)
tels que $h(P) = Q$.
\end{prop}
\begin{proof}[Idée-clé de démonstration]
Soit $U$ un ouvert affine de $C$ contenant $Q$, et $U' = h^{-1}(U)$
son image réciproque dans $C'$ (qui est également affine) ; on
considère la $k$-algèbre $\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q
\mathcal{O}(U')$ des fonctions sur $U'$ modulo l'idéal
$h^*\mathfrak{m}_Q$ engendré par les $h\circ f$ avec $f \in
\mathcal{O}(U)$ : on peut montrer que cette $k$-algèbre
$\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q \mathcal{O}(U')$ est un $k$-espace
vectoriel de dimension $\deg h$.  Mais le lemme
d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette
algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P
\mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels
que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce
produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$
d'après \ref{dimension-of-space-of-jets}.
\end{proof}

\begin{cor}\label{principal-divisors-have-degree-zero}
Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $f \in k(C)$ non
constant.  Alors
\[
\sum_P \ord_P(f) = 0
\]
où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C$.  Plus
précisément,
\[
\begin{array}{c}
\sum_{P\;:\;\ord_P(f)>0} \ord_P(f) = \deg f\\
\sum_{P\;:\;\ord_P(f)<0} \ord_P(f) = -\deg f\\
\end{array}
\]
\end{cor}
\begin{proof}
On a vu en \ref{ramification-of-functions-as-morphisms} que si $f$ est
vu comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, alors son indice de
ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P =
\ord_P(f)$, et en un point $P$ tel que $f(P) = \infty$ est $e_P =
-\ord_P(f)$.  La proposition précédente permet de conclure.
\end{proof}



%
\subsection{Diviseurs sur une courbe}

\begin{defn}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps parfait $k$.  On appelle
\textbf{diviseur} sur $C$ une combinaison linéaire formelle (finie)
$\sum n_P (P)$, à coefficients dans $\mathbb{Z}$, de $k^{\alg}$-points
de $C$, qui soit stable par l'action du groupe de Galois
absolu $\Gal(k)$ (ou, si on préfère, une combinaison linéaire formelle
de « points fermés » de $C$, chacun étant vu comme la somme d'une
orbite galoisienne).

On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum n_P (P)$ l'entier $\sum
n_P$.
\end{defn}

Si $f \in k(C)$ n'est pas constant, on peut notamment considérer les diviseurs
\[
\begin{array}{c}
f^*((0)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) > 0} \ord_P(f)\, (P)\\
f^*((\infty)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\, (P)\\
f^*((0)-(\infty)) = \divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)\\
\end{array}
\]
appelés respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur
  des pôles} et \textbf{diviseur principal} définis par $f$
(différence des deux premiers).  Le contenu du
corollaire \ref{principal-divisors-have-degree-zero} est que ces
diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$.

Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non
constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$,
on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle
\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$
par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini
ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$
sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$.
Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est
encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$).  On
peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en
  avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme
$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa
moins évident, que l'image directe d'un diviseur principal est un
diviseur principal.

\begin{prop}
Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes,
pour tout diviseur $D$ sur $C$ on a
\[
\begin{array}{c}
h_* h^* D = (\deg h)\, D\\
\end{array}
\]
\end{prop}
\begin{proof}
C'est une conséquence immédiate de \ref{sum-of-ramification-degrees}
(et du fait qu'un morphisme non-constants entre courbes est
surjectif !,
cf. \ref{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}).
\end{proof}

\begin{defn}
On appelle \textbf{principal} un diviseur (de degré zéro) de la forme
$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine
fonction $f \in k(C)$ non constante.  Les diviseurs principaux forment
un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) =
\divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que
deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} (notation : $D
\sim D'$) lorsque leur différence est un diviseur principal.  Le
groupe des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les
diviseurs principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle
\textbf{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré zéro) de la
courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
\end{defn}

\textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P
(P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle $\prod
(t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui sont
dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement le
bon puisque $\sum n_P = 0$.  Ceci montre que \emph{tout diviseur de
  degré zéro sur $\mathbb{P}^1$ est principal}, donc que
$\Pic^0(\mathbb{P}^1) = 0$, et $\Pic(\mathbb{P}^1) = \mathbb{Z}$.

On a un morphisme de degré $\deg\colon \Pic(C) \to \mathbb{Z}$, dont
le noyau est $\Pic^0(C)$.  Si la courbe $C$ vérifie $C(k) \neq
\varnothing$, c'est-à-dire qu'il existe $P$ un $k$-point sur $C$,
alors tout diviseur peut s'écrire comme somme de $n (P)$ et d'un
diviseur de degré zéro, et il est facile de voir que $\Pic(C) =
\Pic^0(C) \oplus \mathbb{Z}$ (où $\mathbb{Z}$ désigne
$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n (P)$).

\emph{Attention :} Pour une fois, le slogan « rationnel = fixe par
  Galois » n'est pas vérifié : quand $C$ est une courbe sur un corps
$k$ parfait non algébriquement clos, il faut bien distinguer le groupe
de Picard rationnel $\Pic C$ de $C$, c'est-à-dire les diviseurs
stables par Galois modulos ceux de la forme $\divis(f)$ avec $f \in
k(C)$, et le groupe de Picard fixé par Galois noté $(\Pic
C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$, c'est-à-dire les classes des diviseurs $D$
tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$
(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$.  Néanmoins, certains
auteurs appellent (à tort) $\Pic C$ ce deuxième groupe (d'autres
encore appellent $\Pic C$ tout le groupe de Picard géométrique $\Pic
C_{k^{\alg}}$) : il faut donc faire attention à qui utilise quoi.



%
\subsection{Différentielles}

\begin{prop}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Il existe un
$k(C)$-espace vectoriel de dimension $1$, noté\footnote{Notation
  abusive, en fait.  Une bonne notation serait $\Omega^1_{C/k}
  \otimes_{\mathcal{O}_C} k(C)$, mais c'est un peu encombrant.}
$\Omega^1_C$ et appelé \textbf{espace des (formes) différentielles
  méromorphes} sur $C$, et une application $k$-linéaire $d\colon k(C)
\to \Omega^1_C$, vérifiant les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item on a $dc = 0$ pour $c \in k$,
\item on a $d(fg) = f\,dg + g\,df$ pour $f,g\in k(C)$,
\item si $t \in k(C)$ vérifie $\ord_P(t) = 1$ en au moins un
  point alors $dt \neq 0$,
\end{itemize}
et ces conditions caractérisent à isomorphisme près $\Omega^1_C$ muni
de l'application $d\colon k(C) \to \Omega^1_C$.
\end{prop}

La moralité est que $\frac{df}{dt}$ a un sens, comme élément de
$k(C)$, dès que $f$ et $t$ sont deux éléments de $k(C)$ et que $t$ est
une uniformisante en au moins un point ou simplement\footnote{Si $k$
  est de caractéristique zéro, cette condition est réalisée dès que
  $t$ n'est pas constant.} que $dt \neq 0$.

\textbf{Remarque :} On peut relier $\frac{df}{dt} \in k(C)$ à ce qui a
été fait en \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} de la
façon suivante : si $Q$ est un point de $C$ tel que $t$ et $f$ soient
régulières en $Q$, on peut voir $t$ et $f$ comme deux morphismes $U
\to \mathbb{A}^1$ pour un certain voisinage (affine, disons) $U$
de $Q$, on a des applications linéaires $dt_Q\colon T_Q C \to
k^{\alg}$ et $df_Q\colon T_Q C \to k^{\alg}$, et la valeur de
$\frac{df}{dt}$ en $Q$ est le rapport entre ces deux applications
linéaires (ceci a bien un sens car ce sont des applications entre
espaces de dimension $1$).

\begin{prop}\label{order-of-derivative}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$ et
$t$ une uniformisante en $P$ (i.e., $\ord_P(t) = 1$).  Pour $f \in
k(C)$, on a
\begin{itemize}
\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et
\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$.
\end{itemize}
\end{prop}

(Ces propriétés découlent des propriétés correspondantes des
polynômes.)

\begin{defn}
Si $C$ est une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$
(sur $k^{\alg}$) et $\omega \in \Omega^1_C$, on définit
\[
\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)
\]
où $t \in k(C)$ est tel que $\ord_P(t) = 1$ (=est une uniformisante
en $P$).  Cette définition ne dépend pas du choix de $t$.

Si $\omega \neq 0$, le diviseur $\divis(\omega) := \sum_P
\ord_P(\omega) (P)$ s'appelle \textbf{diviseur canonique} de la forme
différentielle $\omega$.
\end{defn}

La définition de $\ord_P(\omega)$ ne dépend pas du choix de $t$, car
si $t' = u t$ où $\ord_P(u) = 0$, alors $dt'/dt = u + t\,(du/dt)$, et
$\ord_P(du/dt) \geq 0$ d'après \ref{order-of-derivative} donc
$\ord_P(t\,(du/dt)) \geq 1$, ce qui assure $\ord_P(dt'/dt) = 0$, et
donc $\ord_P(\omega/dt') = \ord_P(\omega/dt)$.

La définition qu'on vient de faire permet de reformuler la
proposition \ref{order-of-derivative} en :

\begin{prop}\label{order-of-differential}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, et $P$ un point de $C$.
Pour $f \in k(C)$, on a
\begin{itemize}
\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et
\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$.
\end{itemize}
\end{prop}

\textbf{Exemple :} Soit $t$ la coordonnée affine sur $\mathbb{A}^1$,
vue comme élément de $k(\mathbb{P}^1) = k(t)$.  Alors $dt$ a pour
ordre $0$ en tout $P \neq \infty$ (en $P=0$ c'est clair d'après la
proposition qui précède, et en tout autre $P \in \mathbb{A}^1$ on peut
remarquer que $dt = d(t-P)$ d'après les règles de calcul, donc de même
$dt$ est d'ordre $0$) ; en $\infty$, en revanche, son ordre est $-2$
puisque l'ordre de $t$ est $-1$.  On a donc $\divis(dt) = -2(\infty)$.

\medbreak

La classe de $\divis(\omega)$ dans $\Pic(C)$ ne dépend pas du choix
de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) +
\divis(\omega)$.  Cette classe s'appelle la \textbf{classe canonique}
dans $\Pic(C)$ (très souvent notée $K$).  On vient par exemple de voir
que la classe canonique de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$.

\textbf{Exemple :} Soit $C$ la courbe d'équation $y^2 = h(x)$ où $h(t)
\in k[t]$ est de degré $3$ (c'est-à-dire, $C$ la complétée projective
de cette courbe affine, complétée d'équation $Z Y^2 = Z^3 h(X/Z)$ si
$X,Y,Z$ sont les coordonnées homogènes avec $y = Y/Z$ et $x = X/Z$).
Soit $h(t) = (t-\lambda_1) (t-\lambda_2) (t-\lambda_3)$ la
factorisation de $h$ sur $k^{\alg}$.  Outre les points affines, la
courbe $C$ a un unique point à l'infini noté $O$ (en coordonnées
homogènes, $X=Z=0$).  Le diviseur de la fonction $y$ sur $C$ est
$(P_1) + (P_2) + (P_3) - 3(O)$ où $P_i$ est le point de coordonnées
affines $(\lambda_i,0)$ (ce sont les trois points où $y$ s'annule,
alors que $O$ est le point où $y$ a un pôle triple).  Le diviseur de
$x-\lambda_i$ est $2(P_i) - 2(O)$, d'où il résulte que $dx$ a un
ordre $1$ en chaque $P_i$ et $-3$ en $O$, et $0$ partout ailleurs.
Autrement dit, le diviseur de $dx$ est le même que celui de $y$, ou,
si on veut, la différentielle $\omega := dx/y$ a un ordre $0$ partout.
Ceci signifie que la classe canonique $K$ sur $C$ est \emph{nulle}.



%
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}

\begin{defn}
Un diviseur $D$ sur une courbe $C$ est dit \textbf{effectif}, noté $D
\geq 0$, lorsque $D$ est combinaison de points à coefficients
positifs : $D = \sum n_P (P)$ avec $n_P \geq 0$ pour tout $P$.

Si $D = \sum n_P (P)$ est un diviseur (non nécessairement effectif)
sur une courbe $C$, on note $\mathscr{L}(D)$ ou parfois
$\mathcal{O}(D)$ le $k$-espace vectoriel $\{f \in k(C) : \divis(f)+D
\geq 0\}$ des fonctions rationnelles sur $C$ vérifiant $\ord_P(f) \geq
-n_P$ pour tout point $P$ de $C$.  (S'il faut lui donner un nom, c'est
« l'(ensemble des sections globales du) faisceau associé à $D$ ».)
\end{defn}

\begin{rmk}
Si $D$ et $D'$ sont linéairement équivalents, alors $\mathscr{L}(D)
\cong \mathscr{L}(D')$ comme $k$-espaces vectoriels.  En effet, si $D
= D' + \divis(g)$ et $f \in \mathscr{L}(D)$ alors $\divis(fg) + D' =
\divis(f) + D \geq 0$ donc $fg \in \mathscr{L}(D')$ et réciproquement.
On peut donc considérer que $\mathscr{L}(D)$ ne dépend que de la
classe de $D$ dans $\Pic(C)$.

D'autre part, l'ensemble $\{\omega \in \Omega^1_C : \divis(\omega)
\geq 0\}$ (des différentielles « holomorphes ») peut être identifié à
$\mathscr{L}(K)$ pour les mêmes raisons.  (Et plus généralement,
$\mathscr{L}(K-D)$ peut être identifié à $\{\omega \in \Omega^1_C :
\divis(\omega)-D \geq 0\}$.)
\end{rmk}

\begin{prop}
Le $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D)$ est de dimension finie.
\end{prop}

On note $l(D)$ cette dimension.  Notons par exemple que $l(0) = 1$ (le
diviseur nul, à ne pas confondre avec le diviseur $(0)$
sur $\mathbb{P}^1$ !), puisque $\mathscr{L}(0) = \mathcal{O}(C) = k$
(les seules fonctions régulières partout sont les constantes,
d'après \ref{basic-ord-facts}).

\begin{prop}\label{negative-degree-divisors-have-no-sections}
\begin{itemize}
\item Si $\deg D < 0$ alors $l(D) = 0$.
\item Si $\deg D = 0$ et $l(D) \neq 0$ alors $l(D) = 1$ et $D \sim 0$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' :=
\divis(f) + D \geq 0$.  Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le
degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le
degré de $D$ est $\geq 0$.  De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$)
est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim
0$, qui entraîne $l(D) = 1$.
\end{proof}

\begin{thm}[Riemann-Roch]
Il existe un entier $g \geq 0$, appelé \textbf{genre} de $C$ tel que
pour tout diviseur $D$ on ait, en notant $K$ un diviseur canonique :
\[
l(D) - l(K-D) = \deg D + 1 - g
\]
\end{thm}

\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor}
\begin{itemize}
\item Pour $K$ un diviseur canonique sur une courbe $C$, on a :
\[
\begin{array}{c}
l(K) = g\\
\deg(K) = 2g-2\\
\end{array}
\]
\item Si $D$ est un diviseur avec $\deg D > 2g-2$, alors $l(D) = \deg
  D + 1 - g$.
\end{itemize}
\end{cor}
\begin{proof}
Pour la première affirmation, appliquer Riemann-Roch à $D=0$ donne
$1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K +
1 - g$ d'où $\deg K = 2g-2$.  Pour la seconde affirmation, on utilise
\ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} pour conclure que
$l(K-D) = 0$.
\end{proof}

\textbf{Remarque :} Si $C$ est une courbe sur un corps $k$, alors le
genre de $C$ est égal au genre de $C_{k^{\alg}}$.  En effet, un
diviseur canonique $K$ sur $C$ est encore un diviseur canonique quand
on le voit sur $C_{k^{\alg}}$, et son degré, censé valoir $2g-2$ est
le même qu'on le voie d'une façon ou d'une autre.  On dit que le genre
est un \emph{invariant géométrique}.

S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$.
La réciproque est vraie :
\begin{cor}
Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ sur un corps algébriquement
clos : alors $C$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$.
\end{cor}
\begin{proof}
Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch
au diviseur $D := (P)-(Q)$.  Comme $\deg D = 0 > -2 = 2g-2$, le
corollaire précédent montre que $l(D) = 1$.
Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) =
(P) - (Q)$.  En considérant $f$ comme un morphisme $C \to
\mathbb{P}^1$, on voit que $\deg f = 1$
(cf. \ref{principal-divisors-have-degree-zero}), donc $f$ est un
isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}).
\end{proof}

\emph{Remarque :} Cette démonstration utilise le fait que $k$ est
algébriquement clos pour pouvoir fabriquer le diviseur $(P)-(Q)$ comme
différence de deux diviseurs de degré $1$.  En fait, on peut faire
mieux : il suffit que $C(k)$ soit non-vide (démonstration : si $P \in
C(k)$, Riemann-Roch appliqué au diviseur $(P)$ montre que $l((P)) =
2$, donc il existe une fonction $f$ non-constante, admettant au plus
un pôle simple en $P$, donc admettant effectivement un pôle simple
en $P$ d'après \ref{basic-ord-facts}, et du coup $\divis(f)$, qui doit
être de degré $0$, est de la forme $(P) - (Q)$, et le reste est comme
ci-dessus).  On ne peut pas se dispenser de cette hypothèse $C(k) \neq
\varnothing$ : si $C$ est la conique\footnote{En fait, on peut montrer
  que toute courbe de genre $0$ peut s'écrire comme une conique
  plane.} d'équation projective $t_0^2 + t_1^2 + t_2^2 = 0$ dans
$\mathbb{P}^2$ sur les réels, qui a $C(\mathbb{R}) = \varnothing$,
alors $C$ a pour genre $0$ car le genre est un invariant géométrique
(cf. ci-dessus) et que, sur les complexes, cette conique est isomorphe
au cercle (quitte à changer $t_0$ en $i t_0$) donc à $\mathbb{P}^1$
(cf. exemples
de \ref{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}).
Pourtant, $C$ \emph{n'est pas} isomorphe à $\mathbb{P}^1$ sur les
réels, précisément parce que $C(\mathbb{R}) = \varnothing$ alors que
$\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \neq \varnothing$ !

\begin{cor}
Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout
entier est affine.  (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte
utile de ce résultat.)
\end{cor}
\begin{proof}[Démonstration (partielle)]
Le cas $U=\varnothing$ est vrai (on a $U = \Spec 0$ où $0$ désigne
l'anneau nul) mais inintéressant : supposons donc $U$ non vide.

On admet\footnote{Il n'y a pas d'arnaque : c'est là un résultat
  beaucoup plus facile et moins profond que Riemann-Roch ; il s'agit
  de dire que $f$ est un morphisme « fini », donc en particulier
  « affine » c'est-à-dire que l'image réciproque d'un ouvert affine
  est affine.} le résultat suivant : si $f \colon C \to C_0$ est un
morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de
tout ouvert affine de $C_0$ est affine.

Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de
Riemann-Roch, et notamment le corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$
est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une
fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$
(où elle ne peut pas être régulière).  En considérant $f$ comme un
morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, on voit alors que $U' := C
\setminus\{P\} = f^{-1}(\mathbb{A}^1)$, et d'après le résultat admis,
$U'$ est affine.  Le lemme d'approximation \ref{approximation-lemma}
montre que si $Q_1,\ldots,Q_s$ sont les points de $U'\setminus U$, il
existe une fonction $h$ ayant un pôle d'ordre $1$ en chacun des $Q_i$
et régulière sur tout $U \setminus \{Q_i\}$ ; si de plus on exige que
$h$ ait un zéro d'ordre très élevé (c'est-à-dire supérieur à $s$) en
un quelconque autre point $R$ (ce que le lemme d'approximation permet
toujours de faire), on assure que $h$ aura aussi un pôle en $P$
d'après \ref{principal-divisors-have-degree-zero}.  Autrement dit,
ceci assure que $U = h^{-1}(\mathbb{A}^1)$ (en voyant de nouveau $h$
comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$), ce qui conclut.
\end{proof}


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\end{document}