Write answers to second exercise.

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@@ -475,6 +475,27 @@ car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.)
 façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple
 comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.)
 
+\begin{corrige}
+On fait deux tableaux, l'un pour le cas où Alice joue $\mathtt{0}$,
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cc}
+$\mathtt{0}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline
+$\mathtt{0}$&$0,0,0$&$-1,-1,+2$\\
+$\mathtt{1}$&$-1,+2,-1$&$+2,-1,-1$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+et l'autre pour le cas où Alice joue $\mathtt{1}$,
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|cc}
+$\mathtt{1}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline
+$\mathtt{0}$&$+2,-1,-1$&$-1,+2,-1$\\
+$\mathtt{1}$&$-1,-1,+2$&$0,0,0$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+Chacune des entrées doit bien sûr lister trois nombres, pour les gains
+d'Alice, Bob et Charlie respectivement.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un
@@ -486,6 +507,16 @@ stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$
 et Charlie selon la stratégie mixte $r$ vaut : $-2pq -2pr +4qr + 2p -
 q -r$.  (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.)
 
+\begin{corrige}
+Si Alice joue $\mathtt{0}$, son espérance de gain est $-q(1-r) -
+(1-q)r + 2qr$ d'après le premier tableau donné en réponse à la
+question précédente, soit $4qr - q - r$.  Si Alice joue $\mathtt{1}$,
+son espérance de gain vaut $2(1-q)(1-r) -q(1-r) - (1-q)r = 4qr - 3q -
+3r + 2$.  Si elle joue $p$, son espérance de gain vaut $1-p$ fois $4qr
+- q - r$ plus $p$ fois $4qr - 3q - 3r + 2$, ce qui vaut l'expression
+$-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$ annoncée.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 (3) On se demande à quelle condition sur la stratégie mixte $q$ jouée
@@ -494,18 +525,77 @@ $\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle
 (c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain).  Montrer que
 c'est le cas si et seulement si $q + r = 1$.
 
+\begin{corrige}
+On cherche à quelle condition la valeur $4qr - q - r$ (qui se retrouve
+en substituant $0$ à $p$ dans $-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$) est égale
+à $4qr - 3q - 3r + 2$ (obtenue en mettant $p$ à $1$).  La différence
+entre les deux vaut $2 - 2q - 2r$, qui est donc nulle si et seulement
+si $q+r = 1$, comme annoncé.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 (4) Déduire de la question (3) que si un profil $(p,q,r)$ de
 stratégies mixtes est un équilibre de Nash et que $0<p<1$ alors
 $q+r=1$.
 
+\begin{corrige}
+Si $(p,q,r)$ est un équilibre de Nash en stratégies mixtes et si
+$0<p<1$, c'est-à-dire si Alice pondère effectivement ses deux
+stratégies pures, c'est que les gains espérés qu'elles lui apportent
+sont égaux (si l'une était strictement meilleure que l'autre, Alice
+aurait strictement intérêt à ne jouer que celle-là), c'est-à-dire
+$q+r=1$ comme on vient de le voir.
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 (5) En déduire tous les équilibres de Nash $(p,q,r)$ du jeu (on pourra
 distinguer des cas selon que $p=0$, $p=1$ ou $0<p<1$ et de même pour
 $q$ et $r$ ; la symétrie doit permettre de simplifier le travail).
 
+\begin{corrige}
+Considérons un équilibre de Nash $(p,q,r)$.  On a vu en (4) que si
+l'un des trois nombres n'est ni $0$ ni $1$, la somme des deux autres
+vaut nécessairement $1$.
+
+(A) Si au moins deux des trois nombres sont strictement entre $0$ et
+$1$, disons sans perte de généralité que $p$ et $q$ le sont.  Alors
+$q+r=1$ et $p+r=1$, ce qui donne $p=q$.  Mais le fait que $r=1-q$ avec
+$0<q<1$ implique que $0<r<1$.  On a donc aussi $p+q=1$, ce qui
+implique $p=q=\frac{1}{2}$ et du coup $r=\frac{1}{2}$ puisque le
+raisonnement est complètement symétrique.  Or il est clair que
+$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ est bien un équilibre de Nash
+(toutes les options deviennent indifférentes pour tout le monde).
+
+(B) Si un seul des trois nombres est strictement entre $0$ et $1$,
+disons sans perte de généralité que $p$ l'est.  Alors $q+r=1$, et
+comme $q$ et $r$ doivent valoir chacun $0$ ou $1$, les seules
+possibilités sont $(p,0,1)$ et symétriquement $(p,1,0)$.  Vérifions
+que $(p,0,1)$ constitue bien un équilibre de Nash, y compris si $p=0$
+ou $p=1$ (le cas $(p,1,0)$ étant bien sûr symétrique) : dans
+$(p,0,1)$, Alice a un gain espéré de $-1$ qui ne varie pas selon $p$ ;
+Bob y a un gain espéré de $3p-1$, qui est supérieur ou égal au gain
+$-3p+2$ qu'il espère obtenir en changeant d'option, et le cas de
+Charlie est exactement symétrique.  On a donc bien affaire à un
+équilibre de Nash.
+
+(C) Enfin, si $p,q,r$ dont tous dans $\{0,1\}$, on a déjà vu en (B)
+que si deux valent $0$ et un vaut $1$ ou le contraire, on a affaire à
+un équilibre de Nash.  Reste le cas de $(0,0,0)$ ou $(1,1,1)$, et ce
+ne sont certainement pas des équilibres de Nash car les trois joueurs
+ont intérêt à changer unilatéralement de stratégie.
+
+Finalement, on a trouvé comme équilibre de Nash : le point isolé
+$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, et l'hexagone formé des
+segments paramétrés par $(p,0,1)$, $(1,0,r)$, $(1,q,0)$, $(p,1,0)$,
+$(0,1,r)$ et $(0,q,1)$ où la seule variable prend une valeur
+quelconque dans $[0;1]$ (intuitivement, ce sont des équilibres où deux
+joueurs sont en position de gagner, et le troisième, qui est en
+position de « faiseur de roi », ne peut pas gagner mais choisit au
+hasard lequel des deux autres gagne).
+\end{corrige}
+
 \smallbreak
 
 (6) Dans cette question, on modifie le jeu : plutôt que faire leurs
@@ -514,6 +604,25 @@ successivement (Alice, puis Bob, puis Charlie).  (a) Que va faire Bob
 si Alice choisit $\mathtt{0}$ ?  (b) Informellement, expliquer qui est
 avantagé ou désavantagé par cette modification de la règle.
 
+\begin{corrige}
+(a) Si Alice choisit $\mathtt{0}$, Bob a bien sûr intérêt à
+  choisir $\mathtt{1}$ (car s'il choisit lui-même $\mathtt{0}$,
+  Charlie choisira $\mathtt{1}$ et Bob a le pire gain possible
+  de $-1$).  Charlie sera alors dans la situation de choisir qui
+  d'Alice ou de Bob gagne sans pouvoir gagner lui-même (il est
+  « faiseur de roi »).  La situation est complètement symétrique si
+  Alice choisit $\mathtt{1}$, et le choix d'Alice est complètement
+  indifférent puisque les deux options sont équivalentes de son point
+  de vue.
+
+(b) On peut donc dire que Charlie est désavantagé par le fait de jouer
+  en dernier : il ne pourra pas gagner, seulement choisir lequel des
+  deux autres joueurs gagne.  (Ceci est un peu paradoxal quand on se
+  rappelle que dans un jeu à \emph{deux} joueurs à somme nulle, on ne
+  peut qu'être avantagé par le fait d'avoir connaissance de l'option
+  choisie par l'adversaire.)
+\end{corrige}
+
 
 %
 %
@@ -678,7 +787,7 @@ is a Nash equilibrium and if $0<p<1$ then $q+r=1$.
 
 (5) Use the previous questions to find all Nash equilibria $(p,q,r)$
 in the game (one might discuss various cases according as $p=0$, $p=1$
-or $0<p<1$, and similarly for $q$ and $r$; one might use symmetry to
+or $0<p<1$, and similarly for $q$ and $r$; the use of symmetry can
 simplify the task).
 
 \smallbreak