Successor and limit ordinals.

1 files changed, 78 insertions, 8 deletions

diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index f187c7f..618f949 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -3899,7 +3899,14 @@ difficiles à visualiser.  Mais même si on n'identifie pas $\alpha =
 \#W$ à l'ensemble des ordinaux strictement plus petits, il est
 important de garder à l'esprit que l'ensemble des ordinaux strictment
 plus petits est $\{\#\precs(x) : x \in W\}$ (par définition de
-l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem).
+l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem).  Même si
+nous éviterons de supposer explicitement que les ordinaux sont
+construits à la façon de von Neumann, il arrivera souvent qu'on dise
+« un élément de $\alpha$ » pour parler d'un ordinal strictement plus
+petit que $\alpha$ (cela peut être considéré comme un abus de
+langage).
+
+\bigbreak
 
 Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} a la conséquence
 importante suivante sur les ordinaux :
@@ -3928,28 +3935,91 @@ La dernière affirmation vient de l'équivalence entre (*) et (\dag)
 dans \ref{definition-well-ordered-set}.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals}
 Tout ensemble $S$ d'ordinaux a une borne supérieure : autrement dit,
 il existe un ordinal $\sup S$ qui est le plus petit majorant (large)
-de $S$.
+de $S$ (i.e., le plus petit ordinal $\alpha$ tel que $\beta\leq\alpha$
+pour tout $\beta \in S$), et un ordinal $\sup^+ S$ qui est le plus
+petit majorant strict de $S$ (i.e., le plus petit ordinal $\alpha$ tel
+que $\beta<\alpha$ pour tout $\beta \in S$).
+
+(On verra plus loin que $\sup^+ S = \sup\{\beta+1 \colon \beta \in
+S\}$, donc cette notion n'est pas vraiment nouvelle.)
 \end{prop}
 \begin{proof}
 D'après ce qu'on vient de voir (dernière affirmation
 de \ref{sets-of-ordinals-are-well-ordered}), il suffit de montrer
-qu'il existe un majorant de $S$.  Quitte à remplacer $S$ par sa
+qu'il existe un majorant strict de $S$.  Quitte à remplacer $S$ par sa
 réunion avec l'ensemble des ordinaux inférieurs à un ordinal
 quelconque de $S$ (pour les ordinaux de von Neumann, ceci revient à
 remplacer $S$ par $S \cup \bigcup_{\alpha\in S} \alpha$), on peut
 supposer que (*) si $\alpha \in S$ et $\beta < \alpha$ alors $\beta
 \in S$.  On vient de voir que $S$ est bien-ordonné : si $\alpha =
-\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant de $S$ ; or si $\beta \in
-S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on
-vient d'assurer, et la définiton de l'ordre sur les ordinaux donne
-$\beta<\alpha$.
+\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant strict de $S$ ; or si $\beta
+\in S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on
+vient d'assurer, et la définition de l'ordre sur les ordinaux donne
+$\beta<\alpha$ : ainsi, $\alpha$ est bien un majorant strict comme
+voulu.
 \end{proof}
 
 
 
+\subsection{Ordinaux successeurs et limites}
+
+\thingy On appelle \textbf{successeur} d'un ordinal $\alpha$ le plus
+petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ (qui existe d'après la
+proposition \ref{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} : si on veut,
+c'est $\sup^+\{\alpha\}$) : il est facile de voir que cet ordinal est
+fabriqué en ajoutant un unique élément à la fin d'un ensemble
+bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$.
+Réciproquement, tout ordinal ayant un plus grand élément (i.e.,
+l'ordinal d'un ensemble bien-ordonné ayant un plus grand élément) est
+un successeur : en effet, si $W$ a un plus grand élément $x$, alors
+$\#W$ est le successeur de $\#\precs(x)$.
+
+\thingy On distingue maintenant trois sortes d'ordinaux :
+\begin{itemize}
+\item l'ordinal \textbf{nul} $0 = \#\varnothing$, mis à part de tous
+  les autres,
+\item les ordinaux \textbf{successeurs}, c'est-à-dire ceux qui ont un plus
+  grand élément (au sens expliqué ci-dessus),
+\item les autres, qu'on appelle ordinaux \textbf{limites}.
+\end{itemize}
+
+La terminologie d'ordinaux « limites » s'explique ainsi : si $\delta$
+est un ordinal non nul qui n'est pas successeur, cela signifie que
+pour chaque $\beta<\delta$ il existe $\beta'$ avec
+$\beta<\beta'<\delta$ (puisque $\beta$ n'est pas le plus grand élément
+de $\delta$).  Ceci permet de dire que $\sup\{\beta < \alpha\} =
+\sup^+\{\beta < \alpha\}$ (de façon générale, on a $\sup^+\{\beta <
+\alpha\} = \alpha$ par définition), et on va définir la notion de
+limite ainsi :
+
+\thingy Si $\delta$ est un ordinal limite et $f$ est une fonction
+\emph{croissante} de $\delta$ (i.e., des ordinaux strictement plus
+petits que $\delta$) vers les ordinaux, on appelle \textbf{limite} de
+$f$ en $\delta$ la valeur $\sup\{f(\xi) : \xi<\delta\}$.  On pourra la
+noter $\lim_{\xi\to\delta} f(\xi)$ ou simplement $\lim_\delta f$.  (Il
+s'agit bien d'une limite pour une certaine topologie : la topologie de
+l'ordre ; plus exactement, c'est une limite car pour tous $\beta_1 <
+\lim_\delta f < \beta_2$, il existe $\xi_0$ tel que $\beta_1 < f(\xi)
+< \beta_2$ si $\xi_0 \leq \xi < \delta$.)
+
+Ainsi, si $\delta$ est un ordinal limite, on peut écrire $\delta =
+\lim_{\xi\to\delta} \xi$ (et réciproquement, si $f$ est
+\emph{strictement} croissante, alors $\lim_{\xi\to\delta} f(\xi)$ est
+forcément un ordinal limite).
+
+À titre d'exemple, si $(u_n)$ est une suite croissante d'entiers
+naturels, sa limite en tant que fonction ordinale $\omega \to \omega$
+est soit un entier naturel (lorsque la suite est bornée, donc
+constante à partir d'un certain rang) soit $\omega$ (lorsque la suite
+n'est pas bornée).  Notamment, $\lim_{n\to\omega} 2^n = \omega$ (ce
+qui permettra de dire que $2^\omega = \omega$ quand on aura défini cet
+objet).
+
+
+
 %
 %
 %