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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-02-02 15:06:26 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-02-02 15:06:26 (GMT)
commit16f99393ad94847eb031e088384d1a3e1c30cc34 (patch)
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parent8ea916c312f489069dd3927b49b9e02092752355 (diff)
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index d51a7e7..a744989 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -5204,6 +5204,25 @@ faculté la consomme pour tout le monde, et le jeu n'est fini qu'une
fois ce tour consommé) : en effet, c'est simplement une reformulation
du jeu $G \oplus *1$.
+\thingy À côté de la somme de nim définie
+en \ref{definition-nim-sum-of-ordinals}, il existe aussi une opération
+de \index{nim (produit de)|see{produit de nim}}\defin{produit de nim}
+définie inductivement par
+\[
+\alpha\otimes\beta := \mex\Big\{(\alpha'\otimes\beta)
+\oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus (\alpha'\otimes\beta')
+: \alpha'<\alpha,\text{~et~}\beta'<\beta\Big\}
+\]
+
+On renvoie à l'exercice \ref{game-for-nim-product} pour une
+interprétation de cette opération en termes de jeux, et
+à \ref{inductions-on-nim-product} pour plus d'informations sur cette
+opération : on y montre notamment qu'elle est commutative et
+distributive sur la somme de nim, et en fait, on peut voir que les
+deux opérations de nim munissent la classe de tous les ordinaux d'une
+structure de corps commutatif (de caractéristique $2$ et
+algébriquement clos).
+
%
@@ -5776,6 +5795,11 @@ multiplication peut même être définie entre un nombre réel et [la
\section{Exercices}\label{section-exercises}
+(Les sections de cette partie sont numérotées de la même manière que
+les parties de l'ensemble, et font appel aux notions correspondantes.)
+
+\medbreak
+
\setbox0=\vbox\bgroup
\subsection{Introduction et typologie}
\egroup
@@ -7429,7 +7453,7 @@ $(5,4)$ et $(4,4)$ (c'est-à-dire jouer $(\alpha,\beta,\alpha',\beta')
\exercice\label{inductions-on-nim-product}
On définit inductivement une opération $\alpha\otimes\beta$
-(\emph{produit de nim}) de deux ordinaux $\alpha,\beta$ par
+(\defin{produit de nim}) de deux ordinaux $\alpha,\beta$ par
$\alpha\otimes\beta := \mex\{(\alpha'\otimes\beta) \oplus
(\alpha\otimes\beta') \oplus (\alpha'\otimes\beta') : \alpha'<\alpha,
\beta'<\beta\}$ (autrement dit, par la formule (*) de