More questions (Gale-Stewart games, ordinals).

1 files changed, 167 insertions, 0 deletions

diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex
index 28a11ac..a7f9e77 100644
--- a/controle-2020qcm.tex
+++ b/controle-2020qcm.tex
@@ -116,6 +116,72 @@ Git: \input{vcline.tex}
 
 \begin{question}
 
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
+réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
+formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
+a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x
+\leq \frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x > \frac{1}{3}$, Bob
+gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
+$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?
+
+\rightanswer
+Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+aucun joueur n'a de stratégie gagnante
+
+\answer
+un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
+lequel
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
+réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
+formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
+a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x <
+\frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{1}{3}$, Bob
+gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
+$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?
+
+\rightanswer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+aucun joueur n'a de stratégie gagnante
+
+\answer
+un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
+lequel
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
 C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il
 y a $1$, $4$, $10$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu.
 Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ?
@@ -200,6 +266,107 @@ Bob a une stratégie gagnante
 \end{question}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?
+
+\rightanswer
+$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 4})\cdot 2})\cdot 3$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 3})\cdot 4})\cdot 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 2})\cdot 3})\cdot 4$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 +
+\omega^\omega$ ?
+
+\rightanswer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^\omega + \omega^2 + \omega$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega+1}$
+
+\answer
+$\omega^\omega\cdot 2$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega\cdot 2}$ (lire :
+$2$ puissance $\omega\cdot 2$) ?
+
+\rightanswer
+$\omega^2$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^2}$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^\omega}$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega^2}$ (lire : $2$ puissance
+$\omega^2$) ?
+
+\rightanswer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^2$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^2}$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^\omega}$
+
+\end{question}
+
+
 \end{qcm}
 %
 %