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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-11 18:04:48 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-11 18:04:48 (GMT)
commit811f834984b4f04b71dfe53453a08ec30f6fba52 (patch)
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Connection between the "sign" of a partizan game and the "signs" of its options.
-rw-r--r--notes-mitro206.tex52
1 files changed, 50 insertions, 2 deletions
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index e9fd843..b3df179 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -5470,7 +5470,6 @@ définition, et de même « Blaise a une stratégie gagnante dans [le jeu
joueur a une stratégie gagnante dans [le jeu impartial] $\tilde
G_{\mathrm{R}}$ » et de même en échangeant simultanément Blaise et
Roxane et $L$ et $R$. Bref, on a les équivalences suivantes :
-
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
$G\doteq 0$&ssi&$\tilde G_{\mathrm{L}}\doteq 0$&et&$\tilde G_{\mathrm{R}}\doteq 0$\\
@@ -5481,7 +5480,6 @@ $G\geq 0$&ssi&&&$\tilde G_{\mathrm{R}}\doteq 0$\\
$G\leq 0$&ssi&$\tilde G_{\mathrm{L}}\doteq 0$&&\\
\end{tabular}
\end{center}
-
où lorsque $H$ est un jeu combinatoire impartial on a écrit $H\doteq
0$ pour dire que sa position initiale est une P-position (si on
préfère, $\gr(H) = 0$) et $H\fuzzy 0$ pour dire qu'elle est une
@@ -5533,6 +5531,56 @@ On voit bien qu'il s'agit de jeux très différents, et la première
construction (la somme disjonctive de jeux partisans) est plus
naturelle si on doit étudier quel joueur a une avance sur lequel.
+\thingy Même si la construction $\tilde G$ n'est pas compatible avec
+la somme comme on vient de l'expliquer, on peut se rappeler que, pour
+toute position $x$ d'un jeu impartial $H$, on a $x \doteq 0$ si et
+seulement si $y \fuzzy 0$ pour tout voisin sortant $y$ de $x$, et
+inversement $x \fuzzy 0$ si et seulement si $y \doteq 0$ pour un
+voisin sortant $y$ de $x$ (c'est une reformulation
+de \ref{definition-grundy-kernel}). On en déduit :
+
+\begin{prop}
+Soit $G$ un jeu combinatoire partisan bien-fondé. Alors pour toute
+option $x$ de $G$ (identifiée au jeu ayant $x$ pour position
+initiale) :
+\begin{itemize}
+%% \item On a $x \doteq 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$
+%% pour tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r
+%% \vartriangleright 0$ pour tout voisin sortant \emph{rouge}
+%% $r$ de $x$.
+%% \item On a $x > 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$ pour au moins un
+%% voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \vartriangleright 0$
+%% pour tout voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+%% \item On a $x < 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$ pour
+%% tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \leq 0$ pour au
+%% moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+%% \item On a $x \fuzzy 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$ pour au moins un
+%% voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$, et $r \leq 0$ pour au
+%% moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\item On a $x \geq 0$ si et seulement si : $r \vartriangleright 0$
+ pour tout voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\item On a $x \leq 0$ si et seulement si : $\ell \vartriangleleft 0$
+ pour tout voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$.
+\item On a $x \vartriangleright 0$ si et seulement si : $\ell \geq 0$
+ pour au moins un voisin sortant \emph{bleu} $\ell$ de $x$.
+\item On a $x \vartriangleleft 0$ si et seulement si : $r \leq 0$ pour
+ au moins un voisin sortant \emph{rouge} $r$ de $x$.
+\end{itemize}
+Autrement dit : une position positive est une position depuis laquelle
+Roxane ne peut jouer que vers des positions non négatives
+(=strictement positives ou floues) ; et une position négative est une
+position depuis laquelle Blaise ne peut jouer que vers des positions
+non positives (=strictement négatives ou floues).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+On a par exemple $x \geq 0$ ssi et seulement si $\tilde x_{\mathrm{R}}
+\doteq 0$, soit si et seulement si tout $\tilde y_{\mathrm{L}} =
+(y,\mathrm{L})$ voisin sortant de $\tilde x_{\mathrm{R}} =
+(x,\mathrm{R})$ vérifie $\tilde y_{\mathrm{L}} \fuzzy 0$, c'est-à-dire
+$y \vartriangleright 0$ pour tout $y$ voisin sortant rouge de $x$.
+Les autres cas sont analogues.
+\end{proof}
+