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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-23 16:25:49 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-23 16:25:49 (GMT)
commita8f94b41361c3c09e7de5791ad7b9bbaa483976f (patch)
treea18e85ddaeb75fbbccdee5c02ebd3b1edaf25677
parent888066207e62246f2c97a82c2f6f11b25c27333d (diff)
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mitro206-a8f94b41361c3c09e7de5791ad7b9bbaa483976f.tar.bz2
Another remark on the Grundy function.
-rw-r--r--notes-mitro206.tex18
1 files changed, 18 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index cafa9d2..876c0cc 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -4937,6 +4937,10 @@ impartiaux bien-fondés se calcule donc comme le \emph{ou exclusif} des
fonctions de Grundy des composantes. Notamment, la fonction de Grundy
d'un jeu de nim est le \emph{ou exclusif} des nombres d'allumettes des
différentes lignes.
+
+Enfin, la fonction de Grundy d'un jeu combinatoire impartial
+bien-fondé $G$ peut se voir comme l'unique ordinal $\alpha$ tel que le
+second joueur ait une stratégie gagnante dans $G \oplus *\alpha$.
\end{thm}
\begin{proof}
L'affirmation du premier paragraphe résulte
@@ -4948,8 +4952,22 @@ de $2$ identiques.
L'affirmation du second paragraphe est une reformulation
de \ref{nim-sum-for-games-versus-ordinals} (et pour le jeu de nim,
cf. aussi \ref{grundy-of-nimbers-triviality}).
+
+Enfin, l'affirmation du troisième paragraphe en résulte d'après
+\ref{nim-sum-cancellative} (pour l'unicité de $\alpha$)
+et \ref{nim-sum-has-characteristic-two}.
\end{proof}
+\thingy On savait déjà que dire que la valeur de Grundy d'un jeu
+combinatoire impartial bien-fondé $G$ vaut $0$ signifie que le second
+joueur a une stratégie gagnante. On voit maintenant que dire que
+cette valeur vaut $1$ signifie que le second joueur a une stratégie
+gagnante dans le jeu modifié où les joueurs peuvent passer un tour
+exactement une fois dans le jeu (le premier joueur qui utilise cette
+faculté la consomme pour tout le monde, et le jeu n'est fini qu'une
+fois ce tour consommé) : en effet, c'est simplement une reformulation
+du jeu $G \oplus *1$.
+
%