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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:04:03 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:04:03 (GMT)
commitde5c40856f754464ffb6bb1b451530af60d16f7c (patch)
tree5a9d08eb37fb42eb598612e691634136f32ff264
parent9c48c6057e3ea4f294ef672620f3aafef73543a8 (diff)
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-rw-r--r--exercices-ordinaux.tex20
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index 6be2488..a7f909a 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -240,14 +240,18 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
= \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n =
\omega\cdot n + 1$.
-(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot
- n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet,
- $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais
- inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$
- pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2
- = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$,
- c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en
- particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$.
+(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite des
+ $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette
+ limite vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$
+ pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on
+ a $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en
+ utilisant le fait que $\omega^2 = \omega\cdot\omega$ est elle-même
+ la limite des $\omega\cdot n$, c'est-à-dire le plus petit ordinal
+ supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < \omega\cdot n
+ + 1$ ; ou, si on préfère, $\omega\cdot n \leq \omega\cdot n + 1 \leq
+ \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et $\omega\cdot (n+1)$ ont
+ la même limite $\omega^2$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$
+ aussi.
(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega
+ 1 = \omega^2 + \omega + 1$.