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@@ -159,6 +159,87 @@ ni (x) ni (y) n'est un équilibre de Nash
 
 \begin{question}
 
+Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi
+« rouge », « vert » ou « bleu ».  Chacun reçoit alors un score (entre
+$1$ et $12$) égal au nombre de joueurs ayant choisi cette option.
+
+On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs
+jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard
+uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour
+chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais
+uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec
+probabilité $\frac{1}{2}$.  Que pensez-vous de ces profils ?
+
+\rightanswer
+(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash
+
+\answer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en
+est pas
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en
+est pas
+
+\answer
+ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi
+« rouge », « vert » ou « bleu ».  Chacun reçoit alors un score (entre
+$-1$ et $-12$) égal à \emph{l'opposé} du nombre de joueurs ayant
+choisi cette option.
+
+On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs
+jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard
+uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour
+chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais
+uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec
+probabilité $\frac{1}{2}$.  Que pensez-vous de ces profils ?
+
+\rightanswer
+(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash
+
+\answer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en
+est pas
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en
+est pas
+
+\answer
+ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
 Ambre et Bastien ($8$ ans) jouent à
 pierre-papier-ciseaux-éléphant-souris, dont les règles sont les
 suivantes : chacun choisit une des cinq options (pierre, papier,
@@ -371,7 +452,10 @@ limite du nombre effectivement présent sur cette ligne !).  Par
 exemple, à partir de la position $(1,2,3)$ (c'est-à-dire la position
 dans laquelle il y $1$ bâtonnet sur une ligne, $2$ sur une autre, et
 $3$ sur la troisième), on pourrait aller en $(0,2,3)$ ou $(1,1,3)$ ou
-$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$.
+$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$.  Comme
+d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut plus jouer
+(c'est-à-dire quand il n'y a plus de bâtonnets), et le joueur qui
+devait jouer a alors perdu.
 
 Laquelle des descriptions suivantes définit la stratégie gagnante de
 ce jeu ?  (On pourra commencer par la valeur de Grundy de la position
@@ -406,6 +490,46 @@ lignes) soit multiple de $3$
 
 \begin{question}
 
+On considère le jeu suivant (inspiré du jeu de nim) : on a une unique
+rangée de bâtonnets, et chaque joueur, quand vient son tour, peut
+retirer un nombre de bâtonnets égal à une puissance de $2$
+(c'est-à-dire que s'il y a $n$ bâtonnets avant de jouer, il en laisse
+$n-2^k$ pour un certain $k$ entier avec $2^k \leq n$ ; par exemple,
+s'il y a $17$ bâtonnets, on peut en laisser $16$, $15$, $13$, $7$ ou
+$1$).  Comme d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut
+plus jouer (c'est-à-dire quand il n'y a plus de bâtonnets), et le
+joueur qui devait jouer a alors perdu.
+
+Laquelle des suites suivantes donne la valeur de Grundy de la position
+où il y a $n$ bâtonnets (pour $n=0,1,2,3,\ldots$) ?
+
+\rightanswer
+$0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1\ldots$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
 Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?
 
 \rightanswer
@@ -426,6 +550,26 @@ $(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 3})\cdot 4$
 
 \begin{question}
 
+Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?
+
+\rightanswer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 2})+ 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})+ 2})\cdot 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega+ 2)})\cdot 2})\cdot 2$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
 Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 +
 \omega^\omega$ ?