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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 12:12:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 12:12:39 (GMT)
commitfe981e94abc7f46b66460e8479fe9ceaa84c8bf7 (patch)
tree69649916bba2a28a7ba7d26273a01114498601ac
parent4984c63695b99a732e0899e2097c9406e0fba6ec (diff)
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Merge branch 'master' of git.madore.org:teach/mitro206
-rw-r--r--exercices-ordinaux.tex78
-rw-r--r--notes-mitro206.tex34
2 files changed, 110 insertions, 2 deletions
diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex
index 3f5849e..6be2488 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -203,6 +203,84 @@ Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ;
\end{corrige}
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(a) Que vaut $(\omega+1) + (\omega+1)$ ?
+
+(b) Plus généralement, que vaut $(\omega+1) + \cdots + (\omega+1)$
+avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
+
+(c) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot n$.
+
+(d) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot \omega$.
+
+(e) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot(\omega+1)$.
+
+(f) En déduire ce que vaut $(\omega+1)^2$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $(\omega+1) + (\omega+1) = \omega + 1 + \omega + 1 = \omega +
+ (1 + \omega) + 1 = \omega + \omega + 1 = \omega\cdot 2 + 1$.
+
+(b) En procédant de même, on voit que dans la somme de $n$ termes
+ $\omega + 1$, chaque $1$ est absorbé par le $\omega$ qui
+ \emph{suit}, sauf le dernier $1$ qui demeure : la somme vaut
+ donc $\omega\cdot n + 1$.
+
+(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, la somme $\alpha + \cdots +
+ \alpha$ avec $n$ termes $\alpha$ vaut $\alpha\cdot n$ (ceci se voit
+ soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par
+ induction de la multiplication, soit en utilisant la distributivité
+ à droite, c'est-à-dire $\alpha\cdot n = \alpha\cdot(1 + \cdots + 1)
+ = \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n =
+ \omega\cdot n + 1$.
+
+(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot
+ n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet,
+ $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais
+ inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$
+ pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2
+ = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$,
+ c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en
+ particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$.
+
+(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega
+ + 1 = \omega^2 + \omega + 1$.
+
+(f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 =
+ \omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer.
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque
+$\alpha\geq\omega$. Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement
+si $1+\alpha = \alpha$.
+
+\begin{corrige}
+Si $\alpha$ est infini, on a $\alpha \geq \omega$, donc il existe un
+unique ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \omega + \beta$. On a alors
+$1 + \alpha = 1 + (\omega + \beta) = (1 + \omega) + \beta = \omega +
+\beta = \alpha$.
+
+Si, en revanche, $\alpha$ est fini, c'est-à-dire $\alpha < \omega$,
+alors $\alpha$ est un entier naturel, et comme l'addition ordinale sur
+les entiers naturels coïncide avec l'addition usuelle sur ceux-ci, on
+a $1 + \alpha > \alpha$.
+\end{corrige}
+
+
%
%
%
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index 2f4dc73..c07b1a4 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -4012,9 +4012,13 @@ aussi définir $\#W$ comme l'écrasement transitif
W\}$ où $\#x = \{\#y : y<x\}$, cette définition ayant bien un sens par
induction transfinie (\ref{transfinite-definition}
et \ref{scholion-transfinite-definition}).
+
+On appelle $\omega$ l'ordinal $\#\mathbb{N}$ de l'ensemble des entiers
+naturels, et on identifie tout entier naturel $n$ à l'ordinal de
+$\precs(n) = \{0,\ldots,n-1\}$ dans $\mathbb{N}$.
\end{defn}
-\thingy Ces deux façons de définir les ordinaux reviennent
+\thingy Les deux façons de définir les ordinaux reviennent
essentiellement au même : en effet, s'il y a une bijection croissante
$W \to W'$ (forcément unique), alors les écrasements transitifs de $W$
et $W'$ coïncident, et réciproquement, si les écrasements transitifs
@@ -4333,7 +4337,14 @@ suivantes :
$\alpha$ peut s'écrire de façon unique comme $\alpha = \omega\gamma +
r$ avec $r$ un entier naturel : on a alors $r>0$ si et seulement si
$r$ est successeur (les ordinaux limites sont donc exactement les
-$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$).
+$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$) ; ce $r$ sera le « chiffre des
+unités » de l'écriture de $\alpha$ en forme normale de Cantor
+($\xi_{(0)}$ dans la notation de \ref{base-tau-writing-of-ordinals}).
+On peut aussi écrire tout ordinal $\alpha$ de façon unique comme
+$\alpha = 2\gamma + r$ avec $r$ valant $0$ ou $1$ : on peut dire que
+$\alpha$ est « pair » ou « impair » selon le cas (à titre d'exemple,
+$\omega$ est pair car $\omega = 2\cdot\omega$) ; ce $r$ sera de même
+le « chiffre des unités » de l'écriture binaire.
\thingy On pourrait aussi définir des produits d'ordinaux, ces
produits étant eux-mêmes indicés par d'autres ordinaux (le cas des
@@ -4404,6 +4415,25 @@ suivantes :
transfinie).
\end{itemize}
+Il peut être éclairant de vérifier $2^\omega = \omega$ avec les deux
+définitions de l'exponentiation. Selon la définition avec des
+ensembles bien-ordonnés, $2^\omega = \#(\{0,1\}^{(\mathbb{N})})$ où
+$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est l'ensemble des suites de $0$ et de $1$
+dont presque tous les termes sont des $0$, ordonnées par l'ordre
+lexicographique donnant le plus de poids aux valeurs lointaines de la
+suite : or de telles suites peuvent se voir comme des écritures
+binaire (écrites à l'envers, i.e., en commençant par le poids faible),
+et se comparent comme des écritures binaires, si bien que
+$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est isomorphe, en tant qu'ensemble
+bien-ordonné, à l'ensemble $\mathbb{N}$ des naturels, et son ordinal
+est bien $\omega$. Selon la définition inductive, $2^\omega$ est la
+limite de $2^n$ pour $n\to\omega$, c'est-à-dire la borne supérieure de
+$\{2^0,2^1,2^2,2^3,\ldots\}$, or cette borne supérieure est $\omega$
+(ce ne peut pas être plus, parce que tous les $2^n$ sont des entiers
+naturels donc majorés par $\omega$, et ce ne peut pas être moins car
+aucun ordinal $<\omega$, i.e., aucun entier naturel, ne majore tous
+les $2^n$).
+
\thingy\label{base-tau-writing-of-ordinals} Soient $\alpha,\tau$ des
ordinaux avec $\tau>1$ (dans la pratique, on ne s'intéressera guère
qu'à $\tau = 2$ et $\tau = \omega$) : alors il existe une unique