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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:59:27 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:59:27 (GMT)
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treeef37d919e6f9d56a941e1573f762b15deeaa47d8 /exercices-ordinaux.tex
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diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex
index f3cbc74..182059a 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -55,6 +55,7 @@
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
\hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
@@ -66,7 +67,11 @@
%
%
\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{Exercices sur les ordinaux — Corrigé}
+\else
\title{Exercices sur les ordinaux}
+\fi
\author{David A. Madore}
\maketitle
@@ -91,8 +96,6 @@ Git: \input{vcline.tex}
\exercice
-\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
-
Ranger les ordinaux suivants par ordre croissant :
\spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^\omega\cdot 33$ ;
\spaceout $\omega\cdot 3 + 42$ ;
@@ -198,8 +201,8 @@ Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega + 1)}$ ;
\spaceout $\omega^{(\omega^\omega\cdot 2)}$ ;
\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega+1)}}$ ;
-\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ; et enfin
-\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$.
+\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ;
+\spaceout et enfin\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$.
\end{corrige}
@@ -240,21 +243,22 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
= \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n =
\omega\cdot n + 1$.
-(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite des
- $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette
- limite vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$
- pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on
- a $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en
+(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite
+ (c'est-à-dire la borne supérieure) des $(\omega+1)\cdot n =
+ \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette borne supérieure
+ vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour
+ chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a
+ $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en
utilisant le fait que $\omega^2 = \omega\cdot\omega$ est elle-même
la limite des $\omega\cdot n$, c'est-à-dire le plus petit ordinal
supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < \omega\cdot n
- + 1$ ; ou, si on préfère, $\omega\cdot n \leq \omega\cdot n + 1 \leq
- \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et $\omega\cdot (n+1)$ ont
- la même limite $\omega^2$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$
- aussi.
+ + 1$ ; ou, si on préfère, quel que soit $n$ on a $\omega\cdot n \leq
+ \omega\cdot n + 1 \leq \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et
+ $\omega\cdot (n+1)$ ont la même limite $\omega^2$ quand
+ $n\to\omega$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$ aussi.
-(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega
- + 1 = \omega^2 + \omega + 1$.
+(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega +
+ (\omega + 1) = \omega^2 + \omega + 1$.
(f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 =
\omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer.
@@ -268,7 +272,7 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
\exercice
-(a) Que vaut $(\omega 2) \times (\omega 2)$ ?
+(a) Que vaut $(\omega 2) \cdot (\omega 2)$ ?
(b) Plus généralement, que vaut $(\omega 2) \cdots (\omega 2)$ avec
$n$ facteurs $\omega 2$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
@@ -300,17 +304,18 @@ entier naturel.
\alpha^{1+\cdots+1} = \alpha \cdots \alpha$). On a donc $(\omega
2)^n = \omega^n \cdot 2$.
-(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite des $\omega^n \cdot 2$
- pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^\omega$ : en effet,
- $\omega^\omega \geq \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais
- inversement, si $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$
- pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que
- $\omega^\omega$ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire
- le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier
- $\gamma < \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, $\omega^n \leq
- \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et $\omega^{n+1}$
- ont la même limite $\omega^\omega$, d'où il résulte que $\omega^n
- \cdot 2$ aussi.
+(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite (c'est-à-dire la borne
+ supérieure) des $\omega^n \cdot 2$ pour $n\to\omega$. Cette borne
+ supérieure vaut $\omega^\omega$ : en effet, $\omega^\omega \geq
+ \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si
+ $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$ pour un
+ certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^\omega$
+ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire le plus petit
+ ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma <
+ \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, quel que soit $n$ on a
+ $\omega^n \leq \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et
+ $\omega^{n+1}$ ont la même limite $\omega^\omega$ quand
+ $n\to\omega$, d'où il résulte que $\omega^n \cdot 2$ aussi.
Bref, $(\omega 2)^\omega = \omega^\omega$. En revanche,
$\omega^\omega \cdot 2^\omega = \omega^\omega \cdot \omega =
@@ -360,12 +365,12 @@ a $1 + \alpha > \alpha$.
\exercice
On rappelle que si $\alpha' \geq \alpha$ sont deux ordinaux, il existe
-un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$. (a) En déduire
-que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} =
-\omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion de l'exercice
-précédent). (b) Expliquer pourquoi $\omega^{\gamma'} +
-\omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand que $\omega^{\gamma'}$
-et $\omega^\gamma$.
+un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$.\spaceout (a) En
+déduire que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma +
+\omega^{\gamma'} = \omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion
+de l'exercice précédent).\spaceout (b) Expliquer pourquoi
+$\omega^{\gamma'} + \omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand
+que $\omega^{\gamma'}$ et $\omega^\gamma$.
\begin{corrige}
(a) Si $\gamma < \gamma'$, il existe $\beta$ tel que $\gamma' = \gamma
@@ -395,13 +400,14 @@ et $\omega^\gamma$.
(A) (1) Que vaut $2^{\omega+1}$ ?\spaceout (2) Que vaut
$2^{\omega^2}$ ?\spaceout (3) Expliquer pourquoi $\omega^\omega =
\omega\cdot \omega^\omega$. En déduire ce que vaut
-$2^{\omega^\omega}$. (À chaque fois, on écrira les ordinaux demandés
-en forme normale de Cantor.)
+$2^{\omega^\omega}$.\spaceout (À chaque fois, on écrira les ordinaux
+demandés en forme normale de Cantor.)
-(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$. (1) Que vaut
-$\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut
+(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$.\spaceout
+(1) Que vaut $\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut
$\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}$ (on pourra utiliser un des
-deux exercices précédents) ?
+deux exercices précédents) ?\spaceout (À chaque fois, plusieurs
+écritures sont possibles.)
\begin{corrige}
(A) (1) On a $2^{\omega+1} = 2^\omega\cdot 2^1 = \omega\cdot