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path: root/notes-mitro206.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-09 23:15:21 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-09 23:15:21 (GMT)
commit00cf21d77fad4c8726a8c79041b6da2885d26ea8 (patch)
treeb79173b9088c55c8ca4ce67215bda8b8cee30dfa /notes-mitro206.tex
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Genies granting ordinal-counted wishes.
Diffstat (limited to 'notes-mitro206.tex')
-rw-r--r--notes-mitro206.tex39
1 files changed, 39 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index 5c44c03..dbe81be 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -3369,6 +3369,45 @@ graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée
de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit),
est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné.
+\thingy Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le
+lien avec la théorie des jeux : imaginons un génie qui exauce des vœux
+en nombre limité (les vœux eux-mêmes sont aussi limités et ne
+permettent certainement pas de faire le vœu d'avoir plus de vœux —
+peut-être qu'on ne peut que souhaiter un paquet de carambars, ou de
+transformer son ennemi en crapaud, ou d'annuler une transformation en
+crapaud qu'on aurait soi-même subie, ou des choses de ce genre). Si
+le génie est prêt à exaucer $3$ vœux, on peut imaginer qu'à la fin de
+chaque vœu qu'on prononce on doive dire « maintenant, il me reste
+$n$ vœux » avec $n$ strictement inférieur à la valeur antérieure
+(initialement $3$).
+
+Cette définition se généralise aux ordinaux : un génie qui exauce
+$\alpha$ vœux est un génie qui demande qu'on formule un vœu et qu'on
+choisisse un ordinal $\beta < \alpha$, après quoi le vœu est exaucé et
+le génie se transforme en un génie qui exauce $\beta$ vœux.
+
+Ainsi, pour un génie qui exauce $\omega$ vœux on devra, lors du tout
+premier vœu qu'on formule, décider quel nombre de vœux il reste, ce
+nombre étant un \emph{entier naturel}, aussi grand qu'on le souhaite —
+mais fini. Cela peut sembler sans importance (si on a de toute façon
+autant de vœux que l'on souhaite, même $N = 10^{1000}$, peu importe
+qu'on doive choisir un nombre dès le début). Mais comparons avec un
+génie qui exauce $\omega+1$ vœux : pour celui-ci, lors du premier vœu
+que l'on formule, on pourra décider qu'il reste $\omega$ vœux et c'est
+au vœu suivant qu'on devra redescendre à un entier naturel (et le
+choisir). La différence entre avoir $\omega$ et $\omega+1$ vœux
+apparaîtra si on imagine un combat entre Aladdin et Jafar où Jafar
+utilise des vœux pour transformer Aladdin en crapaud et Aladdin pour
+redevenir humain : si Jafar a initialement $\omega$ vœux et Aladdin
+aussi, Jafar transforme Aladdin en crapaud et choisit qu'il lui reste
+$N$ vœux avec $N$ fini, alors Aladdin redevient humain choisit qu'il
+lui reste aussi au moins $N$ vœux, et au final il est sauf ; alors que
+si Jafar a initialement $\omega+1$ vœux et Aladdin seulement $\omega$,
+Jafar transforme Aladdin en crapaud et tombe à $\omega$, puis Aladdin
+est obligé de choisir un $N$ fini en formulant le vœu de redevenir
+humain, et Jafar peut choisir au moins $N$ vœux et gagne le combat
+(ainsi que quelques paquets de carambars).
+
\thingy La construction moderne des ordinaux, introduite par
von Neumann en 1923, est mathématiquement très élégante mais peut-être
d'autant plus difficile à comprendre qu'elle est subtile :