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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-02-20 13:48:52 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-02-20 13:48:52 (GMT)
commit1746e31ac915adc95380da758c32aae53901e6c0 (patch)
tree68dcf4c976e19f82831b6a4a5fca397999c70bb9 /notes-mitro206.tex
parent16f99393ad94847eb031e088384d1a3e1c30cc34 (diff)
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Add definition of affine and convex combinations, convex sets and affine functions.
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-rw-r--r--notes-mitro206.tex36
1 files changed, 36 insertions, 0 deletions
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index a744989..d648151 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -1020,6 +1020,42 @@ surréels de Conway.
\section{Jeux en forme normale}\label{section-games-in-normal-form}
+\setcounter{comcnt}{0}
+
+\thingy Pour cette section, on rappelle les définitions suivants : une
+\index{affine (combinaison)|see{combinaison affine}}\defin{combinaison
+ affine} ou \index{barycentrique (combinaison)|see{combinaison
+ barycentrique}}\defin{combinaison barycentrique} d'éléments
+$x_1,\ldots,x_m \in \mathbb{R}^n$ est une expression de la forme
+$\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i \in \mathbb{R}^n$ où
+$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ vérifient $\sum_{i=1}^m \lambda_i = 1$
+(on peut donc, si on préfère, la définir comme une expression de la
+forme $\frac{\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i}{\sum_{i=1}^m \lambda_i}$ où
+$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ vérifient $\sum_{i=1}^m \lambda_i \neq
+0$ : on parle alors de \defin{barycentre} de $x_1,\ldots,x_m$ affecté
+des coefficients $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$).
+
+Une \index{convexe (combinaison)|see{combinaison
+ convexe}}\defin{combinaison convexe} est une combinaison affine
+$\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i$ où $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ sont
+\emph{positifs} ($\lambda_1,\ldots,\lambda_m \geq 0$) et vérifient
+$\sum_{i=1}^m \lambda_i = 1$, autrement dit, c'est un barycentre
+affecté de coefficients positifs (non tous nuls).
+
+Un \defin{convexe} de $\mathbb{R}^m$ est une partie stable par
+combinaisons convexes (c'est-à-dire que $C$ est dit convexe lorsque si
+$x_1,\ldots,x_m \in C$ et $\lambda_1,\ldots\lambda_m\geq 0$ vérifient
+$\sum_{i=1}^m \lambda_i = 1$ alors $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i \in
+C$).
+
+Une \index{affine (application)}\textbf{application affine} $u\colon
+\mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^q$ est une fonction qui préserve les
+combinaisons affines (autrement dit, si $\sum_{i=1}^m \lambda_i = 1$
+alors $u\Big(\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i\Big) = \sum_{i=1}^m \lambda_i
+u(x_i)$). Il revient au même de dire que $u$ est la somme d'une
+constante (dans $\mathbb{R}^q$) et d'une application linéaire
+$\mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^q$.
+
\subsection{Généralités}
\begin{defn}\label{definition-game-in-normal-form}