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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-25 18:02:17 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-25 18:02:17 (GMT)
commit17bf12ba79c7979b1603921f4c7845676712086c (patch)
tree60b5c4048a69400a1e297d8a471a5390d532a3e3 /notes-mitro206.tex
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--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -2739,71 +2739,6 @@ que $\varsigma_\flat(x_{2i})$ soit défini, i.e., $x_{2i+1}$ est
toujours défini : donc le premier joueur survit.
\end{proof}
-\begin{prop}
-Soit $G$ un jeu impartial à information parfaite :
-\begin{itemize}
-\item le premier joueur (=joueur suivant) possède une stratégie
- survivante si et seulement si il existe une option (=voisin sortant)
- $x_1$ de la position initiale $x_0$ de $G$ telle que le joueur
- précédent possède une stratégie survivante dans le jeu $G_{x_1}$
- joué à partir de $x_1$ (cf. \ref{playing-from-a-position}) ;
-\item le second joueur (=joueur précédent) possède une stratégie
- survivante si et seulement si pour toute option (=voisin sortant)
- $x_1$ de la position initiale $x_0$ de $G$, le joueur suivant
- possède une stratégie survivante dans le jeu $G_{x_1}$ joué à partir
- de $x_1$.
-\end{itemize}
-\end{prop}
-\begin{proof}
-Montrons la première affirmation. Si $\varsigma$ est une stratégie
-positionnelle survivante du premier joueur sur $G$, posons $x_1 :=
-\varsigma(x_0)$. Toute partie de $G_{x_1}$ où le second joueur joue
-selon $\varsigma$ définit une partie de $G$ où le premier joueur joue
-selon $\varsigma$, donc ce joueur y survit, ce qui montre une
-implication. Réciproquement, si $x_1$ est une option de $x_0$ à
-partir de laquelle le second joueur a une stratégie positionnelle
-survivante, on définit une stratégie historique $\varsigma'$ du
-premier joueur sur $G$ qui préconise de jouer en $x_1$ à partir
-de $x_0$ au premier coup et ensuite de jouer selon $\varsigma$
-(autrement dit, $\varsigma'(x_0) = x_1$ et
-$\varsigma'(z_0,\ldots,z_{\ell-1}) = \varsigma(z_{\ell-1})$ si
-$\ell>1$). Il est alors clair que si $x_0,x_1,x_2,\ldots$ est jouée
-selon $\varsigma'$ par le premier joueur, alors $x_1,x_2,x_3,\ldots$
-est jouée selon $\varsigma$ par le second joueur, et comme $\varsigma$
-est survivante, c'est que $\varsigma'$ l'est aussi : ceci montre
-l'implication réciproque.
-
-La preuve de la seconde affirmation est semblable. Si $\tau$ est une
-stratégie positionnelle survivante du second joueur sur $G$, quelle
-que soit l'option $x_1$ de $x_0$, les parties $x_0,x_1,x_2,\ldots$ où
-le second joueur joue selon $\tau$ sont des parties $x_1,x_2,\ldots$
-où le premier joue selon $\tau$, donc survécues par ce joueur. Si le
-premier joueur a une stratégie positionnelle survivante pour toute
-option $y$ de $x_0$, choisissons-en une $\tau_y$, et définissons une
-stratégie historique $\tau'$ du second joueur sur $G$ qui préconise de
-jouer selon $\tau_y$ où $y$ est le coup joué en premier par le premier
-joueur, autrement dit, $\tau'(z_0,\ldots,z_{\ell-1}) =
-\tau_{z_1}(z_{\ell-1})$. Il est alors clair que si
-$x_0,x_1,x_2,\ldots$ est jouée selon $\tau'$ par le second joueur,
-alors $x_1,x_2,x_3,\ldots$ est jouée selon $\tau_{x_1}$ par le premier
-joueur, et comme $\tau_{x_1}$ est survivante, c'est que $\tau'$ l'est
-aussi : ceci montre l'implication réciproque.
-\end{proof}
-
-\begin{thm}\label{determinacy-of-perfect-information-games}
-Soit $G$ un jeu impartial à information parfaite : exactement l'une
-des trois affirmations suivantes est vraie :
-\begin{itemize}
-\item le premier joueur (=joueur suivant) possède une stratégie gagnante,
-\item le second joueur (=joueur précédent) possède une stratégie gagnante,
-\item chacun des deux joueurs possède une stratégie survivante — ce
- cas ne pouvant pas se produire si $G$ est terminant.
-\end{itemize}
-\end{thm}
-\begin{proof}
-\textcolor{red}{...}
-\end{proof}
-
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