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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-01-29 13:35:28 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-01-29 13:35:28 +0100
commit1ac78b90e5d7e554d0ccd9df24ba4bd768879e13 (patch)
tree467a59d77bd4fe9d66c6edb7d135cb87f72b072f /notes-mitro206.tex
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Slight change of notation/convention on forfeiting games.
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index ac9033a..dc53cfb 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -364,7 +364,7 @@ les entiers naturels. À la fin, on a bien sûr $\bigcap_{n=0}^{\infty}
U_n = \bigcap_{n=0}^{\infty} V_n$ : on dit qu'Uriel gagne le jeu si
cette intersection est vide, Vania le gagne si elle est non-vide. On
peut se convaincre que si $X = \mathbb{Q}$, alors Uriel possède une
-stratégie gagnante, tandis que si $X = \mathbb{R}$ c'est Vivien qui en
+stratégie gagnante, tandis que si $X = \mathbb{R}$ c'est Vania qui en
a une.
\thingy\label{introduction-graph-game} Le jeu d'un graphe : soit $G$
@@ -1345,10 +1345,10 @@ que cela signifie que $x_0$ appartient à la partie bien-fondée
\begin{defn}
Pour un jeu $G$ comme
en \ref{definition-impartial-combinatorial-game}, une
-\textbf{stratégie} est une fonction $\varsigma$ de $G$ vers $G \cup
-\{\bot\}$ (où $\bot$ signifiant « forfait » ou « non-défini », est un
-symbole n'appartenant pas à $G$) telle que $\varsigma(x)$ soit, pour
-chaque $x$, un voisin sortant de $x$ ou bien $\bot$.
+\textbf{stratégie} est une fonction partielle $\varsigma\colon G
+\dasharrow G$ telle que $\varsigma(x)$ soit, s'il est défini, un
+voisin sortant de $x$ (s'il n'est pas défini, il faut comprendre que
+le joueur est forfait).
Une \textbf{partie} de $G$ est une suite finie ou infinie $(x_i)$ de
sommets de $G$ telle que $x_0$ soit la position initiale et que pour
@@ -1361,18 +1361,17 @@ défini pour tout entier naturel $i$ (ce qui ne peut pas se produire si
$G$ est bien-fondé), on dit que la partie est nulle ou que les deux
joueurs \textbf{survivent} sans gagner. Lorsque de plus
$\varsigma(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$ pair pour lequel $x_i$ est
-défini (et en interprétant $\bot$ comme « non-défini »), on dit
-qu'Alice a joué la partie selon la stratégie $\varsigma$ ; tandis que
-si $\tau(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$ impair pour lequel $x_i$ est
-défini, on dit que Bob a joué la partie selon la stratégie $\tau$.
+défini, on dit qu'Alice a joué la partie selon la stratégie
+$\varsigma$ ; tandis que si $\tau(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$
+impair pour lequel $x_i$ est défini, on dit que Bob a joué la partie
+selon la stratégie $\tau$.
Si $\varsigma$ et $\tau$ sont deux stratégies, on définit $\varsigma
\ast \tau$ comme la partie jouée lorsque Alice joue $\varsigma$ et Bob
joue $\tau$ : autrement dit, $x_0$ est la position initiale du jeu,
et, si $x_i$ est défini, $x_{i+1}$ est défini par $\varsigma(x_i)$ si
-$i$ est pair et $\tau(x_i)$ si $i$ est impair (en convenant que $\bot$
-signifie que le terme de la suite n'est pas défini et que la suite
-s'arrête).
+$i$ est pair et $\tau(x_i)$ si $i$ est impair (si $x_{i+1}$ n'est pas
+défini, la suite s'arrête là).
La stratégie $\varsigma$ est dite \textbf{gagnante pour Alice} lorsque
Alice gagne toute partie où elle joue selon $\varsigma$. La stratégie