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path: root/notes-mitro206.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-01-30 16:39:35 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-01-30 16:39:35 (GMT)
commit2985de4836242f9706d4da27eaf56f7a5bc93914 (patch)
treed29c2520843fdf38478f8dd9f0436631ed228d7a /notes-mitro206.tex
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Second proof (using ordinals) of the lemma.
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-rw-r--r--notes-mitro206.tex23
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index 01790ef..397cc5e 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -1296,6 +1296,29 @@ donc bien trouvé une fonction partielle $f := U(\varnothing)$ telle
que $\Psi(f) \subseteq f$ (même $\Psi(f) = f$).
\end{proof}
+\begin{proof}[Seconde démonstration]
+On utilise la notion d'ordinaux. On pose $f_0 = \varnothing$, et par
+induction sur l'ordinal $\alpha$ on définit $f_{\alpha+1} =
+\Psi(f_\alpha)$ et si $\delta$ est un ordinal limite alors $f_\delta =
+\bigcup_{\gamma<\delta} f_\gamma$. On montre simultanément par
+induction sur $\alpha$ que $f_\alpha$ est bien définie, est une
+fonction partielle, et, grâce à la croissance de $\Psi$, prolonge
+$f_\beta$ pour chaque $\beta<\alpha$ (c'est ce dernier point qui
+permet de conclure que $\bigcup_{\gamma<\delta} f_\gamma$ est une
+fonction partielle lorsque $\delta$ est un ordinal limite : la réunion
+d'une famille totalement ordonnée pour l'inclusion de fonctions
+partielles est encore une fonction partielle). Les inclusions
+$f_\beta \subseteq f_\alpha$ pour $\beta<\alpha$ ne peuvent pas être
+toutes strictes sans quoi on aurait une surjection d'un ensemble sur
+la classe des ordinaux. Il existe donc $\tau$ tel que $f_{\tau+1} =
+f_\tau$, c'est-à-dire $\Psi(f_\tau) = f_\tau$. D'autre part, si
+$\Psi(h) = h$, alors par induction sur $\alpha$ on montre $f_\alpha
+\subseteq h$ pour chaque $\alpha$ (l'étape successeur étant que si
+$f_\alpha \subseteq h$ alors $f_{\alpha+1} = \Psi(f_\alpha) \subseteq
+\Psi(h) = h$), donc en particulier $f_\tau \subseteq h$, et $f_\tau$
+est bien le plus petit $f$ tel que $\Psi(f) = f$.
+\end{proof}
+
\subsection{Écrasement transitif}