summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-mitro206.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-07 14:06:44 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-07 14:06:44 (GMT)
commit7fc7cad50db513cbe52bff442b71e3e6c95b8800 (patch)
treedfff783f72a0aa12c1c673b9501a9a71c40060c1 /notes-mitro206.tex
parentd50bfae8b0a4ed926039391db3d0486c459dcdb5 (diff)
downloadmitro206-7fc7cad50db513cbe52bff442b71e3e6c95b8800.zip
mitro206-7fc7cad50db513cbe52bff442b71e3e6c95b8800.tar.gz
mitro206-7fc7cad50db513cbe52bff442b71e3e6c95b8800.tar.bz2
Mention Borel determinacy and beyond.
Diffstat (limited to 'notes-mitro206.tex')
-rw-r--r--notes-mitro206.tex49
1 files changed, 48 insertions, 1 deletions
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index b3303a6..8bd781f 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -1798,7 +1798,8 @@ Alice. C'est tout simplement qu'on a fait l'hypothèse que
\begin{thm}[D. Gale \& F. M. Stewart, 1953]\label{gale-stewart-theorem}
Si $A \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est ouvert, ou bien fermé, alors le
-jeu $G_X(A)$ est déterminé.
+jeu $G_X(A)$ (qu'il s'agisse de $G_X^{\mathrm{a}}(A)$ ou
+$G_X^{\mathrm{b}}(A)$) est déterminé.
\end{thm}
\begin{proof}[Première démonstration]
Il suffit de traiter le cas ouvert : le cas fermé s'en déduit
@@ -1921,6 +1922,52 @@ comme $A$ est ouvert, elle n'appartient pas à $A$, i.e., la
confrontation est gagnée par Bob.
\end{proof}
+\thingy Il ne faut pas croire que l'hypothèse « $A$ est ouvert ou bien
+ fermé » est anodine : il existe des jeux $G_X^{\mathrm{a}}(A)$ qui
+ne sont pas déterminés — autrement dit, même si dans toute
+confrontation donnée l'un des deux joueurs gagne, aucun des deux n'a
+de moyen systématique de s'en assurer.
+
+Il ne faut pas croire pour autant que les seuls jeux déterminés soient
+ceux définis par une partie ouverte. Par exemple, il est facile de
+voir que si $A$ est dénombrable, alors Bob possède une stratégie
+gagnante (en effet, si $a = \{a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots\}$, alors Bob
+peut jouer au premier coup pour exclure $a_0$, c'est-à-dire jouer un
+$x_1$ tel que $x_1 \neq a_{0,1}$, puis au second coup pour exclure
+$a_1$, c'est-à-dire jouer un $x_3$ tel que $x_3 \neq a_{1,3}$, et
+ainsi de suite $x_{2i+1} \neq a_{i,2i+1}$ : il s'agit d'un « argument
+ diagonal constructif » ; l'argument fonctionne encore, quitte à
+décaler les indices, si c'est Bob qui commence).
+
+Le résultat ci-dessous généralise à la fois le
+théorème \ref{gale-stewart-theorem} et ce qu'on vient de dire, et il
+assez technique à démontrer :
+
+\begin{thm}[D. A. Martin, 1975]
+Si $A \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est \emph{borélien}, c'est-à-dire
+appartient à la plus petite partie de $\mathscr{P}(X^{\mathbb{N}})$
+stable par complémentaire et réunions dénombrables (également appelée
+« tribu »), alors le jeu $G_X(A)$ est déterminé.
+\end{thm}
+
+(Autrement dit, non seulement un ouvert et un fermé sont déterminés,
+mais aussi une intersection dénombrable d'ouverts et une réunion
+dénombrable de fermés, ou encore une réunion dénombrable
+d'intersections dénombrables d'ouverts et une intersection dénombrable
+de réunions dénombrables de fermés, « et ainsi de suite » ; les mots
+« et ainsi de suite » glosent ici sur la construction des boréliens,
+qui est plus complexe qu'une simple récurrence.)
+
+\thingy Des résultats de détermination encore plus forts ont été
+étudiés, et ne sont généralement pas prouvables dans la théorie des
+ensembles usuelle (par exemple, l'« axiome de détermination
+ projective », indémontable dans $\mathsf{ZFC}$) ou sont même
+incompatibles avec elle (l'« axiome de détermination », qui affirme
+que pour toute partie $A \subseteq \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ le jeu
+$G_{\{0,1\}}(A)$ est déterminé, contredit l'axiome du choix, et a des
+conséquences mathématiques remarquables comme le fait que toute partie
+de $\mathbb{R}$ est mesurable au sens de Lebesgue).
+
\subsection{Détermination des jeux combinatoires}