summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-mitro206.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-24 19:29:38 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-24 19:29:38 (GMT)
commit8636acf6762500dd295b3bbea6a4f8af4e7404bf (patch)
tree3395dec1ea7d0a55f94a6459dce6dffb6919fe4c /notes-mitro206.tex
parent290e04bb8dd43cffc4dda8d0e85193d095a3ed34 (diff)
downloadmitro206-8636acf6762500dd295b3bbea6a4f8af4e7404bf.zip
mitro206-8636acf6762500dd295b3bbea6a4f8af4e7404bf.tar.gz
mitro206-8636acf6762500dd295b3bbea6a4f8af4e7404bf.tar.bz2
An essentially trivial statement.
Diffstat (limited to 'notes-mitro206.tex')
-rw-r--r--notes-mitro206.tex50
1 files changed, 44 insertions, 6 deletions
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index 15ac029..7d5f1b3 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -1304,7 +1304,7 @@ $A$, Alice \textbf{gagne}, sinon c'est Bob (la partie n'est jamais
nulle).
Dans ce contexte, les suites finies d'éléments de $X$ s'appellent les
-\textbf{positions} (y compris la suite vide, qui peut s'appeler
+\textbf{positions} (y compris la suite vide $()$, qui peut s'appeler
position initiale) de $G_X(A)$, ou de $G_X$ vu que $A$ n'intervient
pas ici ; leur ensemble $\bigcup_{\ell=0}^{+\infty} X^\ell$ s'appelle
parfois l'\textbf{arbre} du jeu $G_X$. Une \textbf{partie} ou
@@ -1324,10 +1324,10 @@ $\big(\bigcup_{\ell=0}^{+\infty} X^{2\ell}\big) \to X$
Lorsque dans une partie (confrontation) $x_0,x_1,x_2,\ldots$ de $G_X$
on a $\varsigma((x_0,\ldots,x_{i-1})) = x_i$ pour chaque $i$ pair (y
-compris $\varsigma(()) = x_0$), on dit qu'Alice a joué la partie selon
-la stratégie $\varsigma$ ; de même, lorsque
-$\tau((x_0,\ldots,x_{i-1})) = x_i$ pour chaque $i$ impair, on dit que
-Bob a joué la partie selon la stratégie $\tau$.
+compris $\varsigma(()) = x_0$ en notant $()$ la suite vide), on dit
+qu'Alice a joué la partie selon la stratégie $\varsigma$ ; de même,
+lorsque $\tau((x_0,\ldots,x_{i-1})) = x_i$ pour chaque $i$ impair, on
+dit que Bob a joué la partie selon la stratégie $\tau$.
Si $\varsigma$ et $\tau$ sont deux stratégies pour Alice et Bob
respectivement, on définit $\varsigma \ast \tau$ comme la partie jouée
@@ -1340,9 +1340,47 @@ pour Alice est dite \textbf{gagnante} (dans $G_X(A)$) lorsque Alice
gagne toute partie où elle joue selon $\varsigma$. La stratégie
$\tau$ pour Bob est dite \textbf{gagnante} lorsque Bob gagne toute
partie où il joue selon $\tau$. Lorsque l'un ou l'autre joueur a une
-stratégig gagnante, le jeu est dit \textbf{déterminé}.
+stratégie gagnante, le jeu est dit \textbf{déterminé}.
\end{defn}
+\thingy Il peut arriver qu'on ait envie d'échanger les rôles d'Alice
+et Bob, c'est-à-dire soit de faire commencer la partie à Bob, soit de
+définir le jeu par l'ensemble $B$ des suites qui font gagner Bob (et
+qui est simplement $X^{\mathbb{N}} \setminus A$), soit les deux. Il
+va de soi que ceci ne pose aucune difficulté, il faudra juste le
+signaler le cas échéant.
+
+\smallbreak
+
+La proposition suivante est presque triviale et signifie qu'Alice (qui
+doit jouer) possède une stratégie gagnante si et seulement si elle
+peut jouer un coup $x$ qui l'amène à une position d'où elle (Alice) a
+une stratégie gagnante, et Bob en possède une si et seulement si
+n'importe quel coup $x$ joué par Alice amène à une position d'où il
+(Bob) a une stratégie gagnante :
+\begin{prop}
+Soit $X$ un ensemble et $A \subseteq X^{\mathbb{N}}$. Pour $x \in X$,
+on notera $x^{\$} A$ l'ensemble des suites $(x_1,x_2,x_3,\ldots) \in
+X^{\mathbb{N}}$ telles que $(x,x_1,x_2,\ldots) \in A$ (autrement dit,
+l'image réciproque de $A$ par l'application $X^{\mathbb{N}} \to
+X^{\mathbb{N}}$ qui insère un $x$ en début de la suite).
+
+Dans le jeu de Gale-Stewart $G_X(A)$ :
+\begin{itemize}
+\item Alice (premier joueur) possède une stratégie gagnante si et
+ seulement si il existe $x \in X$ tel qu'elle (=Alice) possède une
+ stratégie gagnante en jouant en second dans le jeu de Gale-Stewart
+ défini par le sous-ensemble $x^{\$} A$ ;
+\item Bob (second joueur) possède une stratégie gagnante si et
+ seulement si pour tout $x \in X$ il (=Bob) possède une stratégie
+ gagnante en jouant en premier dans le jeu de Gale-Stewart défini par
+ le sous-ensemble $x^{\$} A$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{proof}
+\textcolor{red}{...}
+\end{proof}
+
%