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index 9edff71..81110a0 100644
--- a/controle-20160421.tex
+++ b/controle-20160421.tex
@@ -292,7 +292,7 @@ et on a prouvé que c'étaient bien les seuls.
 %
 %
 
-\exercice
+\exercice\label{game-for-nim-product}
 
 On considère le jeu suivant : une position du jeu consiste en un
 certain nombre fini de jetons placés sur un damier transfini dont les
@@ -474,6 +474,49 @@ $\gr(u_{\alpha,\beta}) = \alpha\otimes\beta$ (même définition
 inductive), et on a montré ce qui était demandé.
 \end{corrige}
 
+\smallbreak
+
+(4) Calculer la valeur de $\alpha\otimes\beta$ pour $0\leq\alpha\leq
+5$ et $0\leq\beta\leq 5$.  Pour accélérer les calculs ou bien pour les
+vérifier, on pourra utiliser les résultats de
+l'exercice \ref{inductions-on-nim-product} (il n'est pas nécessaire
+d'avoir traité l'exercice en question).
+
+\begin{corrige}
+En calculant un peu plus loin que ce qui était demandé, on trouve :
+{\[
+\begin{array}{c|cccccccccccccccc}
+\otimes&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
+0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
+1&0&1&2&3&4&5&6&7\\
+2&0&2&3&1&8&10&11&9\\
+3&0&3&1&2&12&15&13&14\\
+4&0&4&8&12&6&2&14&10\\
+5&0&5&10&15&2&7&8&13\\
+6&0&6&11&13&14&8&5&3\\
+7&0&7&9&14&10&13&3&4\\
+\end{array}
+\]}
+(pour simplifier les calculs, on peut notamment utiliser la
+commutativité, et le fait que $\alpha\otimes 3 = \alpha\otimes(2\oplus
+1) = (\alpha\otimes 2) \oplus \alpha$ et de même $\alpha\otimes 5 =
+\alpha\otimes(4\oplus 1) = (\alpha\otimes 4) \oplus \alpha$).
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice\label{inductions-on-nim-product}
+
+On définit inductivement une opération $\alpha\otimes\beta$
+(\emph{produit de nim}) de deux ordinaux $\alpha,\beta$ par la
+formule (*) de l'exercice \ref{game-for-nim-product} (il n'est pas
+nécessaire d'avoir traité l'exercice en question, ni meme d'avoir lu
+autre chose que la formule (*), même s'il est permis de s'en servir).
+La notation $\oplus$ désigne la somme de nim.
+