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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index 28a11ac..a7f9e77 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -116,6 +116,72 @@ Git: \input{vcline.tex} \begin{question} +Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son +tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit +$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de +suite). Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre +réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est +formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty} +a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x +\leq \frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x > \frac{1}{3}$, Bob +gagne. (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit +$0{.}01010101\ldots$ en binaire.) Que pensez-vous de ce jeu ? + +\rightanswer +Alice a une stratégie gagnante + +\answer +Bob a une stratégie gagnante + +\answer +aucun joueur n'a de stratégie gagnante + +\answer +un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir +lequel + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son +tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit +$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de +suite). Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre +réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est +formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty} +a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x < +\frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{1}{3}$, Bob +gagne. (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit +$0{.}01010101\ldots$ en binaire.) Que pensez-vous de ce jeu ? + +\rightanswer +Bob a une stratégie gagnante + +\answer +Alice a une stratégie gagnante + +\answer +aucun joueur n'a de stratégie gagnante + +\answer +un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir +lequel + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il y a $1$, $4$, $10$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu. Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ? @@ -200,6 +266,107 @@ Bob a une stratégie gagnante \end{question} +% +% +% + +\begin{question} + +Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ? + +\rightanswer +$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 4})\cdot 2})\cdot 3$ + +\answer +$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 3})\cdot 4})\cdot 2$ + +\answer +$(\omega^{(\omega^{\omega\cdot 2})\cdot 3})\cdot 4$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 + +\omega^\omega$ ? + +\rightanswer +$\omega^\omega$ + +\answer +$\omega^\omega + \omega^2 + \omega$ + +\answer +$\omega$ + +\answer +$\omega^{\omega+1}$ + +\answer +$\omega^\omega\cdot 2$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega\cdot 2}$ (lire : +$2$ puissance $\omega\cdot 2$) ? + +\rightanswer +$\omega^2$ + +\answer +$\omega$ + +\answer +$\omega^\omega$ + +\answer +$\omega^{\omega^2}$ + +\answer +$\omega^{\omega^\omega}$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega^2}$ (lire : $2$ puissance +$\omega^2$) ? + +\rightanswer +$\omega^\omega$ + +\answer +$\omega$ + +\answer +$\omega^2$ + +\answer +$\omega^{\omega^2}$ + +\answer +$\omega^{\omega^\omega}$ + +\end{question} + + \end{qcm} % % |