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diff --git a/controle-20230417.tex b/controle-20230417.tex index 1ce23ea..34925af 100644 --- a/controle-20230417.tex +++ b/controle-20230417.tex @@ -104,9 +104,9 @@ Durée : 2h Barème \emph{indicatif} : \textcolor{red}{XXX}. \ifcorrige -Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +Ce corrigé comporte 8 pages (page de garde incluse). \else -Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +Cet énoncé comporte 4 pages (page de garde incluse). \fi \vfill @@ -596,6 +596,179 @@ revenir en arrière), et notamment, elle n'est pas d'image finie. \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +On considère une variante \emph{à somme (possiblement) non-nulle} de +Pierre-Papier-Ciseaux, à savoir le jeu en forme normale défini par la +matrice de gain suivante : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|ccc} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$U$&$V$&$W$\\\hline +$U$&$x,x$&$-1,+1$&$+1,-1$\\ +$V$&$+1,-1$&$x,x$&$-1,+1$\\ +$W$&$-1,+1$&$+1,-1$&$x,x$\\ +\end{tabular} +\end{center} +où $x$ est un réel et, pour plus de commodité, on a écrit $U$ pour +« Pierre », $V$ pour « Papier » et $W$ pour « Ciseaux ». Le but de +l'exercice est d'étudier les équilibres de Nash de ce jeu. + +(On prendra bien note, pour simplifier les raisonnements en cas, du +fait que les options ont une symétrie cyclique\footnote{C'est-à-dire + que remplacer $U$ par $V$ et $V$ par $W$ et $W$ par $U$ ne change + rien au jeu.}, et que les joueurs ont eux aussi des rôles +symétriques.) + +(1) Considérons le profil de stratégies mixtes dans lequel les deux +joueurs choisissent chacun chaque option avec probabilité +$\frac{1}{3}$ (on rappelle que c'est ça la stratégie optimale dans le +cas à somme nulle). Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ce profil est-il +un équilibre de Nash ? + +\begin{corrige} +Pour des raisons de symétrie, si l'un des joueurs joue cette stratégie +mixte $\frac{1}{3}U + \frac{1}{3}V + \frac{1}{3}W$, le gain espéré de +chacun des deux joueurs est le même quelle que soit la stratégie pure, +donc aussi mixte, de l'autre joueur. Cette valeur se calcule +d'ailleurs aisément (comme somme des trois colonnes, ou des trois +lignes, de la matrice de gains, affectées des +coefficients $\frac{1}{3}$) : c'est $\frac{1}{3}x$ ; mais la seule +chose qui importe est que l'adversaire ait le même gain espéré quelle +que soit la stratégie pure, donc aussi mixte, qu'il choisit : il n'a +donc pas intérêt à changer unilatéralement sa stratégie. Il s'agit +donc \emph{toujours} d'un équilibre de Nash, quelle que soit la valeur +de $x$. +\end{corrige} + +\emph{On suppose dorénavant que $x<-1$.} + +(2) Existe-t-il un équilibre de Nash dans lequel Alice joue purement +$U$ (Pierre) ? (On raisonnera sur le support de la stratégie de Bob +en réponse.) En déduire tous les équilibres de Nash dans lesquels au +moins un joueur joue une stratégie pure. + +\begin{corrige} +Si Alice joue purement $U$, les gains de Bob pour les différentes +stratégies pures de sa réponse sont $x$ pour $U$, $+1$ pour $V$ et +$-1$ pour $W$ d'après la matrice de gains. Comme $+1 > -1 > x$, la +seule option qui peut faire partie du support d'une meilleure réponse +de Bob est $V$, autrement dit, si Alice joue purement $U$ dans un +équilibre de Nash, Bob répond forcément purement $V$. Mais par le +même raisonnement (compte tenu de la symétrie cyclique des options et +de la symétrie des joueurs), si Bob joue purement $V$, Alice répond +purement $W$. Il ne peut donc pas y avoir d'équilibre de Nash dans +lequel Alice joue purement $U$. Et de nouveau par symétrie cyclique +des options et symétrie des joueurs, il ne peut y avoir aucun +équilibre de Nash dans lequel un joueur jouerait une stratégie pure. +\end{corrige} + +(3) Dans cette question et la suivante, envisageons un équilibre de +Nash dans lequel Alice joue une stratégie mixte $pU + (1-p)V$ avec +$0<p<1$. Supposons dans cette question que Bob réponde avec un une +stratégie mixte ayant elle aussi $\{U,V\}$ comme support. Montrer que +$p = \frac{x+1}{2x}$ et que le gain de Bob est $\frac{x^2+1}{2x}$ ; en +utilisant le fait que $\frac{x^2+1}{2x} < -\frac{1}{x}$ lorsque $x<-1$ +(qu'on admettra pour ne pas perdre son temps en calculs inutiles), en +déduire qu'un tel équilibre de Nash n'existe pas. + +\begin{corrige} +Si Alice joue $pU + (1-p)V$, les gains espérés de Bob pour les +différences stratégies pures de sa réponse sont $px-(1-p) = +-1+(x+1)p$ pour $U$, $p + (1-p)x = x-(x-1)p$ pour $V$ et $-p + (1-p) = +1-2p$ pour $W$. Si une meilleure réponse de Bob a $\{U,V\}$ comme +support, ces deux options doivent apporter le même gain espéré, +c'est-à-dire qu'on doit avoir $-1+(x+1)p = x-(x-1)p$, ce qui équivaut +à $p = \frac{x+1}{2x}$, et le gain en question est $\frac{x^2+1}{2x}$, +tandis que le gain espéré pour $W$ est alors $1-2p = -\frac{1}{x}$. +D'après l'inégalité $\frac{x^2+1}{2x} < -\frac{1}{x}$, l'option $W$ +fournit un meilleur gain espéré pour Bob, donc $\{U,V\}$ ne peut pas +être le support d'une meilleure réponse de Bob à $pU + (1-p)V$ +d'Alice. +\end{corrige} + +(4) Toujours en considérant un équilibre de Nash dans lequel Alice +joue une stratégie mixte $pU + (1-p)V$ avec $0<p<1$. Supposons +maintenant que Bob réponde avec un une stratégie mixte ayant +$U$ et $W$ dans son support support. Montrer que $p = \frac{2}{x+3}$ +(et que $x\neq -3$) ; en utilisant le fait que $\frac{2}{x+3} > 1$ +lorsque $-3<x<-1$ et que $\frac{2}{x+3} < 0$ lorsque $x < -3$ (qu'on +admettra aussi), en déduire qu'un tel équilibre de Nash n'existe pas. + +\begin{corrige} +On a dit dans la question (3) que si Alice joue $pU + (1-p)V$, les +gains espérés de Bob pour les différences stratégies pures de sa +réponse sont $px-(1-p) = -1+(x+1)p$ pour $U$, $p + (1-p)x = +x-(x-1)p$ pour $V$ et $-p + (1-p) = 1-2p$ pour $W$. Si une meilleure +réponse de Bob a $U$ et $W$ dans son support, ces deux options doivent +apporter le même gain espéré, c'est-à-dire qu'on doit avoir $-1+(x+1)p += 1-2p$, ce qui équivaut à $(x+3)p = 3$, donc $x\neq 3$ et $p = +\frac{2}{x+3}$. D'après les inégalités admises, $p$, qui devrait être +entre $0$ et $1$, ne l'est jamais si $x<-1$, donc un tel équilibre de +Nash n'existe pas. +\end{corrige} + +(5) Expliquer soigneusement pourquoi les questions (2) à (4) montrent +que dans tout équilibre de Nash du jeu considéré, les deux joueurs +jouent une stratégie mixte ayant $\{U,V,W\}$ comme support (i.e., +aucun ensemble strictement plus petit n'est possible). + +\begin{corrige} +On a vu en (2) qu'il n'existe aucun équilibre de Nash dans lequel un +joueur joue une stratégie pure. Supposons maintenant un équilibre de +Nash dans lequel un joueur a deux options dans son support. Par +symétrie, sans perte de généralité, on peut supposer que c'est Alice +et que ces deux options sont $U$ et $V$. Comme les stratégies pures +sont exclues, les supports possibles de la réponse de Bob sont : +$\{U,V\}$, $\{U,W\}$, $\{V,W\}$ et $\{U,V,W\}$. Dans la question (3) +on a exclu $\{U,V\}$ ; dans la question (4), on a exclu $\{U,W\}$ et +$\{U,V,W\}$. Reste le cas où le support de la stratégie de Bob est +$\{V,W\}$ (tandis que celui d'Alice est, on le rappelle, $\{U,V\}$). +Mais quitte à effectuer une symétrie cyclique des options ($U\to W\to +V\to U$) et permuter les joueurs, cela revient au cas où le support de +la stratégie d'Alice est $\{U,V\}$ et celui de Bob est $\{U,W\}$ : +mais on a déjà exclu ce cas. Il ne reste donc aucune possibilité. +\end{corrige} + +(6) Envisageons maintenant un équilibre de Nash dans lequel Alice joue +une stratégie mixte $pU + p'V + (1-p-p')W$ avec $p>0$, $p'>0$ et +$1-p-p'>0$ et Bob répond par une stratégie ayant elle aussi +$\{U,V,W\}$ comme support. Écrire un système de deux équations +linéaires sur $p,p'$, justifier que ce système est non-dégéné et +conclure. + +\begin{corrige} +Si Alice joue $pU + p'V + (1-p-p')W$, les gains espérés de Bob pour +les différences stratégies pures de sa réponse sont $px - p' + +(1-p-p') = 1 + (x-1)p - 2p'$ pour $U$, $p + p' x - (1-p-p') = -1 + 2p ++ (x+1)p'$ pour $V$ et $-p + p' + (1-p-p')x = x -(x+1)p - +(x-1)p'$ pour $W$. Si une meilleure réponse de Bob a $\{U,V,W\}$ +comme support, ces trois options doivent apporter le même gain espéré, +c'est-à-dire que $1 + (x-1)p - 2p' = -1 + 2p + (x+1)p' = x -(x+1)p - +(x-1)p'$, ou (en soustrayant, disons, le premier membre aux deux +autres) : +\[ +\begin{aligned} +-(x-3)p + (x+3)p' &= 2\\ +- 2xp - (x-3)p' &= -(x-1) +\end{aligned} +\] +Le déterminant de ce système est $(x-3)^2 + 2x(x+3) = 3(x^2+3)$ qui +est non nul quel que soit $x$, donc le système est non-dégénéré : la +solution $p=p'=\frac{1}{3}$ trouvée en (1) est donc la seule solution. + +Bref, on a montré que le seul équilibre de Nash dans lequel les +supports des stratégies d'Alice et Bob sont $\{U,V,W\}$ est celui +décrit en (1) ; comme on a vu en (5) que ceci est la seule possibilité +de support, il s'agit du seul équilibre de Nash du jeu. +\end{corrige} + + + + % % |