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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 28b0b81..18e17da 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -2526,7 +2526,7 @@ $\mathtt{N}$ si $g(y)$ est défini et vaut $\mathtt{N}$ pour au moins un $y \in \outnb(x)$ et $\mathtt{P}$ si $g(y)$ est défini et vaut $\mathtt{P}$ pour tout $y \in \outnb(x)$ (comme $\Phi$ est cohérente en la seconde variable, on est bien dans le cas d'application -duthéorème \ref{non-well-founded-definition}, même si ici on a déjà +du théorème \ref{non-well-founded-definition}, même si ici on a déjà démontré l'existence d'une plus petite $f$). \end{proof} @@ -3533,7 +3533,7 @@ Par exemple, on peut imaginer que le dessin de la figure ci-dessus qu'on pourrait utiliser dans un jeu de nim (cf. \ref{introduction-nim-game}) : si on convient que les allumettes doivent être effacées \emph{par la droite}, ce qui revient à diminuer -strictement l'ordinal qui les compte (initalement $\omega^2$), la +strictement l'ordinal qui les compte (initialement $\omega^2$), la ligne sera toujours vidée en temps fini même si les joueurs essaient de la faire durer le plus longtemps possible (le premier coup va faire tomber l'ordinal $\omega^2$ à $\omega\cdot k + n$ avec @@ -4279,7 +4279,7 @@ $\alpha\cdot\beta$ (ou $\alpha\beta$) de deux ordinaux. La première façon consiste à prendre un ensemble bien-ordonné $W$ tel que $\alpha = \#W$ et un ensemble bien-ordonné $W'$ tel que $\beta = \#W'$, et définir $\alpha \cdot \beta := \#(W\times W')$ où $W \times -W'$ est l'ensemble bien-ordonné qui est le produit cardésien de $W$ et +W'$ est l'ensemble bien-ordonné qui est le produit cartésien de $W$ et $W'$ avec l'ordre lexicographique donnant plus de poids à $W'$, c'est-à-dire $(w_1,w_1') < (w_2,w_2')$ ssi $w_1' < w_2'$ ou bien $w_1' = w_2'$ et $w_1 < w_2$ (il est facile de voir qu'il s'agit bien d'un @@ -4714,7 +4714,7 @@ déterminés. On fera dans toute cette partie l'hypothèse supplémentaire que le graphe $G$ est bien-fondé (cf. \ref{definitions-graphs}), c'est-à-dire -qu'aucune confrontation ne peut être nulle (=durer indéfiniement) : il +qu'aucune confrontation ne peut être nulle (=durer indéfiniment) : il arrive forcément un point où l'un des joueurs ne peut plus jouer (et a donc perdu), et la détermination signifie qu'un des joueurs a une stratégie \emph{gagnante}. On peut qualifier un tel jeu de @@ -4803,7 +4803,7 @@ Soit $\alpha$ un ordinal. On appelle alors \defin{nimbre} associé \item la position initiale est $\alpha$. \end{itemize} Autrement dit, il s'agit du jeu où, partant de l'ordinal $\beta = -\alpha$, chaque joueur peut dimininuer l'ordinal $\beta$, c'est-à-dire +\alpha$, chaque joueur peut diminuer l'ordinal $\beta$, c'est-à-dire le remplacer par un ordinal $\beta' < \beta$ de son choix (ce jeu termine en temps fini d'après \ref{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate} @@ -5515,7 +5515,7 @@ préfère, $\gr(H) = 0$) et $H\fuzzy 0$ pour dire qu'elle est une N-position (si on préfère, $\gr(H) \neq 0$). \thingy À cause de la remarque du point précédent, on peut se demander -quel est l'intéret de l'étude des jeux combinatoires partisans : +quel est l'intérêt de l'étude des jeux combinatoires partisans : plutôt qu'étudier $G$, autant étudier les deux jeux impartiaux $\tilde G_{\mathrm{L}}$ (correspondant à faire commencer Blaise) et $\tilde G_{\mathrm{R}}$ (correspondant à faire commencer Roxane) au moyen de @@ -5543,7 +5543,7 @@ considérer la somme de deux copies du jeu $G$ des échecs\footnote{Les construction $\tilde{{\cdot}}$ (c'est-à-dire en déplaçant l'information du joueur à qui il incombe de jouer dans la « position » des échecs), alors Blaise et Roxane jouent sur deux - échiquers et choisissent celui sur lequel ils vont faire un coup, + échiquiers et choisissent celui sur lequel ils vont faire un coup, mais ce coup sera fait de la couleur qui doit jouer sur cet échiquier-là (i.e., la couleur opposée à celle du joueur qui a joué en dernier sur cet échiquier-là) : du coup, Blaise et Roxane n'ont @@ -5968,7 +5968,7 @@ q_X + 4 q_Z = 6 q_Y + 4 q_Z = 2 q_X + 2 q_Y + 7 q_Z$, ce qui avec $q_X + q_Y + q_Z = 1$ se résout en $(q_X, q_Y, q_Z) = (\frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4})$. Ces valeurs sont \textit{a priori} possibles, mais comme on a montré ci-dessus que $q_X,q_Y,q_Z$ ne -peuvent pas être simultanément strictemnet positifs, cette possibilité +peuvent pas être simultanément strictement positifs, cette possibilité est exclue. Bref, ceci montre que tout équilibre de Nash omet forcément une des options U, V ou W d'Alice. @@ -6088,7 +6088,7 @@ encore $u(\underline{y}) > v$, autrement dit $\underline{y} \in A_v$. On a donc montré que pour tout $\underline{x}$ dans $A_v$ il existe $\ell$ tel que tout $\underline{y}$ dans $V_\ell(\underline{x})$ soit encore dans $A_v$, c'est exactement dire que $A_v$ est ouvert. Le cas -de l'enesmble $B_v$ des $\underline{x}$ tels que $u(\underline{x}) < +de l'ensemble $B_v$ des $\underline{x}$ tels que $u(\underline{x}) < v$ est exactement analogue (on prendra $\varepsilon := v - u(\underline{x})$). \end{corrige} @@ -6754,7 +6754,7 @@ peut associer l'ordinal $\omega^{\alpha_1} n_1 + \cdots + \omega^{\alpha_s} n_s$ où les $\alpha_i$ ont été triés de façon à avoir $\alpha_1 > \cdots > \alpha_s$. Un coup consistant à remplacer $\omega^{\alpha_i} n_i$ par $\omega^{\alpha_i} (n_i-1)$ en même temps -qu'on ajoute un nomber fini ($k$) de termes strictement inférieurs à +qu'on ajoute un nombre fini ($k$) de termes strictement inférieurs à $\omega^{\alpha_i}$ : ceci fait donc décroître strictement l'ordinal en question, et en particulier, la partie doit terminer en temps fini. \end{corrige} @@ -6793,7 +6793,7 @@ case $\alpha$ et l'autre ayant un unique jeton sur la case $\alpha'$ revient au même que la position ayant deux jetons, un sur la case $\alpha$ et l'autre sur la case $\alpha'$ (quitte à se rappeler si un jeton est un descendant de celui de la case $\alpha$ ou de celui de la -case $\alpha'$, on peut transformer toute poisition ou partie d'un jeu +case $\alpha'$, on peut transformer toute position ou partie d'un jeu en une position ou partie de l'autre), et la même chose vaut avec plus de deux jetons. (Si on veut être extrêmement rigoureux, « revenir au même » dans ce paragraphe signifie que les jeux en question ont le @@ -6930,7 +6930,7 @@ $f_2(n)$&$0$&$1$&$2$&$4$&$7$&$8$&$11$&$13$&$14$&$16$&$19$\\ \end{tabular} \end{center} -En considérant la partié du nombre de $1$ dans l'écriture binaire de +En considérant la parité du nombre de $1$ dans l'écriture binaire de $n-1$ et/ou de $f_2(n)$, on constate expérimentalement que (A) les valeurs $f_2(n)$ pour $n>0$ ont un nombre impair de $1$ dans leur écriture binaire, et sont même exactement tous ces nombres rangés par |