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diff --git a/controle-20230417.tex b/controle-20230417.tex index e7fcdcf..478c1eb 100644 --- a/controle-20230417.tex +++ b/controle-20230417.tex @@ -39,6 +39,7 @@ \newcommand{\limp}{\Longrightarrow} \newcommand{\gr}{\operatorname{gr}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} +\newcommand{\dur}{\operatorname{dur}} \newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -259,6 +260,230 @@ ou $(2,6,4)$ ou même $(1,6,7)$. \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +Si $G$ est un graphe orienté bien-fondé (qu'on peut considérer comme +l'ensemble des positions d'un jeu combinatoire auquel il ne manque que +l'information, sans pertinence ici, de la position initiale), on +rappelle qu'on a défini la fonction rang +\[ +\rk(x) := \sup\nolimits^+\{\rk(y) : y\in\outnb(x)\} = \sup\,\{\rk(y)+1 : +y\in\outnb(x)\} +\] +(en notant $\sup^+ S$ le plus petit ordinal strictement supérieur à +tous les ordinaux de $S$ et $\sup S$ le plus petit ordinal supérieur +ou égal à tous les ordinaux de $S$, et $\outnb(x)$ l'ensemble des +voisins sortants de $x$), et la fonction de Grundy +\[ +\gr(x) := \mex\,\{\gr(y) : y\in\outnb(x)\} +\] +(où $\mex S$ désigne le plus petit ordinal qui n'est pas dans $S$), +— ces définitions ayant bien un sens par induction bien-fondée. La +première mesure en quelque sorte la durée du jeu si les deux joueurs +coopèrent pour le faire durer aussi longtemps que possible, et la +seconde nous donne notamment l'information de quel joueur a une +stratégie gagnante. + +On va maintenant définir une fonction qui mesure en quelque sorte la +durée du jeu si le joueur perdant cherche à perdre aussi lentement que +possible tandis que le joueur gagnant cherche à gagner aussi vite que +possible. Précisément, on pose +\[ +\left\{ +\begin{array}{ll} +\dur(x) := \sup\,\{\dur(y)+1 : y\in\outnb(x)\} +&\;\;\text{si $\gr(x) = 0$}\\ +\dur(x) := \min\,\{\dur(y)+1 : y\in\outnb(x)\text{~et~}\gr(y)=0\} +&\;\;\text{si $\gr(x) \neq 0$}\\ +\end{array} +\right. +\] +(où $\min S$ désigne le plus petit ordinal de $S$, si $S$ est un +ensemble non-vide d'ordinaux). + +(1) Expliquer pourquoi cette définition a bien un sens (on +prendra garde au fait que $\min\varnothing$ n'est pas défini). + +\begin{corrige} +Lorsque $\gr(x) \neq 0$, il existe au moins un voisin sortant $y \in +\outnb(x)$ tel que $\gr(y) = 0$ (car le $\mex$ est la plus petite +valeur exclue: si un tel $y$ n'existait pas, le $\mex$ serait $0$) : +ceci assure que le $\min$ dans la deuxième ligne de la définition +porte toujours sur un ensemble non-vide. + +En-dehors de ce fait, la définition ne pose pas de problème : le +$\sup$ d'un ensemble d'ordinaux existe toujours, et la récursivité de +la définition est légitime par induction bien-fondée, c'est-à-dire que +$\dur(x)$ peut faire appel aux valeurs de $\dur(y)$ pour des voisins +sortants $y$ de $x$. (Le fait de faire appel à $\gr(y)$ n'est pas un +problème car on sait que $\gr$ est bien défini, et la distinction en +cas est légitime de toute manière.) +\end{corrige} + +(2) Expliquer rapidement et informellement pourquoi $\dur(x)$ +correspond bien à l'explication intuitive qu'on a donnée. + +\begin{corrige} +Quand $x$ est une position avec $\gr(x) = 0$, c'est-à-dire une +position P, le joueur qui doit jouer est le joueur perdant (n'ayant +pas de stratégie gagnante) : il joue donc vers une position $y$ le +faisant perdre le plus lentement possible, c'est-à-dire avec $\dur(y)$ +aussi grand que possible, d'où la définition $\dur(x) = +\sup\,\{\dur(y)+1 : y\in\outnb(x)\}$ dans ce cas (le $+1$ sert à +compter le coup joué par ce joueur). + +Au contraire, lorsque $\gr(x) \neq 0$, c'est-à-dire que $x$ est une +position N, le joueur qui doit jouer est le joueur gagnant : il joue +donc vers une position $y$ le faisant gagner le plus rapidement +possible, c'est-à-dire avec $\dur(y)$ aussi petit que possible parmi +les coups $x\to y$ gagnants, autrement dit ceux pour lesquels $\gr(y) += 0$, d'où la définition $\dur(x) = \min\,\{\dur(y)+1 : +y\in\outnb(x)\;\text{~et~}\;\gr(y)=0\}$ dans ce cas (le $+1$ sert à +compter le coup joué par ce joueur). +\end{corrige} + +(3) Sur le graphe $G$ représenté ci-dessous, calculer chacune des +fonctions $\rk$, $\gr$ et $\dur$ (les lettres servent simplement à +étiqueter les sommets) : + +\begin{center}\footnotesize +\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp] +\node (nA) at (0bp,0bp) [draw,circle] {A}; +\node (nB) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {B}; +\node (nC) at (40bp,0bp) [draw,circle] {C}; +\node (nD) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {D}; +\node (nE) at (80bp,0bp) [draw,circle] {E}; +\node (nF) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {F}; +\node (nG) at (120bp,-40bp) [draw,circle] {G}; +\draw[->] (nA) -- (nB); +\draw[->] (nA) -- (nC); +\draw[->] (nB) -- (nD); +\draw[->] (nB) to[out=315,in=225] (nG); +\draw[->] (nC) -- (nD); +\draw[->] (nC) -- (nE); +\draw[->] (nD) -- (nF); +\draw[->] (nE) -- (nF); +\draw[->] (nF) -- (nG); +\draw[->] (nE) to[out=0,in=90] (nG); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Si on joue à partir du sommet A comme position initiale et que, comme +suggéré dans la définition de $\dur$, le joueur perdant cherche à +perdre aussi lentement que possible tandis que le joueur gagnant +cherche à gagner aussi vite que possible, quelle sera le déroulement +du jeu ? + +\begin{corrige} +Les sommets ont été fort sympathiquement étiquetés dans un ordre +compatible avec le rang (tri topologique), c'est-à-dire que chaque +arête pointe vers un sommet situé strictement après dans l'ordre +alphabétique. On effectue donc les calculs dans l'ordre alphabétique +inversé. On trouve, pour le rang : + +\begin{center}\footnotesize +\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp] +\node (nA) at (0bp,0bp) [draw,circle] {$4$}; +\node (nB) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {$3$}; +\node (nC) at (40bp,0bp) [draw,circle] {$3$}; +\node (nD) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {$2$}; +\node (nE) at (80bp,0bp) [draw,circle] {$2$}; +\node (nF) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nG) at (120bp,-40bp) [draw,circle] {$0$}; +\draw[->] (nA) -- (nB); +\draw[->] (nA) -- (nC); +\draw[->] (nB) -- (nD); +\draw[->] (nB) to[out=315,in=225] (nG); +\draw[->] (nC) -- (nD); +\draw[->] (nC) -- (nE); +\draw[->] (nD) -- (nF); +\draw[->] (nE) -- (nF); +\draw[->] (nF) -- (nG); +\draw[->] (nE) to[out=0,in=90] (nG); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Pour la valeur de Grundy : + +\begin{center}\footnotesize +\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp] +\node (nA) at (0bp,0bp) [draw,circle] {$0$}; +\node (nB) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nC) at (40bp,0bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nD) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {$0$}; +\node (nE) at (80bp,0bp) [draw,circle] {$2$}; +\node (nF) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nG) at (120bp,-40bp) [draw,circle] {$0$}; +\draw[->] (nA) -- (nB); +\draw[->] (nA) -- (nC); +\draw[->] (nB) -- (nD); +\draw[->] (nB) to[out=315,in=225] (nG); +\draw[->] (nC) -- (nD); +\draw[->] (nC) -- (nE); +\draw[->] (nD) -- (nF); +\draw[->] (nE) -- (nF); +\draw[->] (nF) -- (nG); +\draw[->] (nE) to[out=0,in=90] (nG); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Et pour la fonction $\dur$ (afin de rendre le calcul plus facile à +suivre, on a entouré en double les sommets de valeur de Grundy $0$) : + +\begin{center}\footnotesize +\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp] +\node (nA) at (0bp,0bp) [draw,double,circle] {$4$}; +\node (nB) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nC) at (40bp,0bp) [draw,circle] {$3$}; +\node (nD) at (40bp,-40bp) [draw,double,circle] {$2$}; +\node (nE) at (80bp,0bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nF) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {$1$}; +\node (nG) at (120bp,-40bp) [draw,double,circle] {$0$}; +\draw[->] (nA) -- (nB); +\draw[->] (nA) -- (nC); +\draw[->] (nB) -- (nD); +\draw[->] (nB) to[out=315,in=225] (nG); +\draw[->] (nC) -- (nD); +\draw[->] (nC) -- (nE); +\draw[->] (nD) -- (nF); +\draw[->] (nE) -- (nF); +\draw[->] (nF) -- (nG); +\draw[->] (nE) to[out=0,in=90] (nG); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Si on joue à partir de la position A, le premier joueur, appelons-la +Alice, est en position perdante car la valeur de Grundy est nulle, et +va jouer vers C car c'est ce qui maximise la fonction $\dur$ ; son +adversaire, appelons-le Bob, joue alors vers D car c'est le seul coup +gagnant, après quoi Alice joue vers F (seul coup possible) et Bob joue +vers G. +\end{corrige} + +(4) Montrer que, dans n'importe quel graphe $G$ bien-fondé, et pour +n'importe quel sommet $x$ de $G$, on a $\dur(x) \leq \rk(x)$. + +\begin{corrige} +On montre par induction bien-fondée que $\dur(x) \leq \rk(x)$. On +peut donc faire l'hypothèse qu'on sait que $\dur(y) \leq \rk(y)$ pour +tout voisin sortant $y \in \outnb(x)$ (hypothèse d'induction). Dans +le cas où $\gr(x) = 0$, on a $\dur(x) = \sup\,\{\dur(y)+1 : +y\in\outnb(x)\}$, qui est $\leq \sup\,\{\rk(y)+1 : y\in\outnb(x)\}$ +par hypothèse d'induction (il est clair qu'augmenter au sens large +tous les éléments d'un ensemble d'ordinaux augmente son $\sup$ au sens +large), et ceci vaut $\rk(x)$ par définition. Dans le cas où $\gr(x) +\neq 0$, on a $\dur(x) = \min\,\{\dur(y)+1 : +y\in\outnb(x)\;\text{~et~}\;\gr(y)=0\} \leq \min\,\{\dur(y)+1 : +y\in\outnb(x)\} \leq \sup\,\{\dur(y)+1 : y\in\outnb(x)\}$ de façon +évidente (en notant bien que les $\min$ portent sur des ensembles +non-vides), et pour la même raison que précédemment, ceci est $\leq +\sup\,\{\rk(y)+1 : y\in\outnb(x)\} = \rk(x)$. +\end{corrige} + % |