diff options
| -rw-r--r-- | controle-2020qcm.tex | 146 |
1 files changed, 145 insertions, 1 deletions
diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index 266d2cf..e4eba2b 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -159,6 +159,87 @@ ni (x) ni (y) n'est un équilibre de Nash \begin{question} +Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi +« rouge », « vert » ou « bleu ». Chacun reçoit alors un score (entre +$1$ et $12$) égal au nombre de joueurs ayant choisi cette option. + +On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs +jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard +uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour +chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais +uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec +probabilité $\frac{1}{2}$. Que pensez-vous de ces profils ? + +\rightanswer +(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash + +\answer +(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas + +\answer +(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas + +\answer +(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en +est pas + +\answer +(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en +est pas + +\answer +ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi +« rouge », « vert » ou « bleu ». Chacun reçoit alors un score (entre +$-1$ et $-12$) égal à \emph{l'opposé} du nombre de joueurs ayant +choisi cette option. + +On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs +jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard +uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour +chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais +uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec +probabilité $\frac{1}{2}$. Que pensez-vous de ces profils ? + +\rightanswer +(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas + +\answer +(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash + +\answer +(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas + +\answer +(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en +est pas + +\answer +(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en +est pas + +\answer +ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + Ambre et Bastien ($8$ ans) jouent à pierre-papier-ciseaux-éléphant-souris, dont les règles sont les suivantes : chacun choisit une des cinq options (pierre, papier, @@ -371,7 +452,10 @@ limite du nombre effectivement présent sur cette ligne !). Par exemple, à partir de la position $(1,2,3)$ (c'est-à-dire la position dans laquelle il y $1$ bâtonnet sur une ligne, $2$ sur une autre, et $3$ sur la troisième), on pourrait aller en $(0,2,3)$ ou $(1,1,3)$ ou -$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$. +$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$. Comme +d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut plus jouer +(c'est-à-dire quand il n'y a plus de bâtonnets), et le joueur qui +devait jouer a alors perdu. Laquelle des descriptions suivantes définit la stratégie gagnante de ce jeu ? (On pourra commencer par la valeur de Grundy de la position @@ -406,6 +490,46 @@ lignes) soit multiple de $3$ \begin{question} +On considère le jeu suivant (inspiré du jeu de nim) : on a une unique +rangée de bâtonnets, et chaque joueur, quand vient son tour, peut +retirer un nombre de bâtonnets égal à une puissance de $2$ +(c'est-à-dire que s'il y a $n$ bâtonnets avant de jouer, il en laisse +$n-2^k$ pour un certain $k$ entier avec $2^k \leq n$ ; par exemple, +s'il y a $17$ bâtonnets, on peut en laisser $16$, $15$, $13$, $7$ ou +$1$). Comme d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut +plus jouer (c'est-à-dire quand il n'y a plus de bâtonnets), et le +joueur qui devait jouer a alors perdu. + +Laquelle des suites suivantes donne la valeur de Grundy de la position +où il y a $n$ bâtonnets (pour $n=0,1,2,3,\ldots$) ? + +\rightanswer +$0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2\ldots$ + +\answer +$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\ldots$ + +\answer +$0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1\ldots$ + +\answer +$0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3\ldots$ + +\answer +$0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\ldots$ + +\answer +$0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1\ldots$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ? \rightanswer @@ -426,6 +550,26 @@ $(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 3})\cdot 4$ \begin{question} +Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ? + +\rightanswer +$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 2})+ 2$ + +\answer +$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})+ 2})\cdot 2$ + +\answer +$(\omega^{(\omega^{(\omega+ 2)})\cdot 2})\cdot 2$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 + \omega^\omega$ ? |