1 files changed, 1332 insertions, 0 deletions

diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex
new file mode 100644
index 0000000..f33cec5
--- /dev/null
+++ b/controle-2020qcm.tex
@@ -0,0 +1,1332 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf]
+%
+\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax}
+\newenvironment{qvar}{\relax}{\relax}
+\newcounter{quescnt}
+\newenvironment{question}%
+{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak}
+{\relax}
+\newcounter{answcnt}[quescnt]
+\newcommand\answer{%
+\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~}
+\let\rightanswer=\answer
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
+\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}}
+\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}}
+\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
+\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}}
+%
+\newcommand{\dblunderline}[1]{\underline{\underline{#1}}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\newif\ifcorrige
+\corrigefalse
+\def\seedval{test}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\else
+\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}}
+\fi
+\author{}
+\date{26 juin 2020}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix
+multiples).  Chaque question admet une unique réponse correcte.  Les
+questions sont totalement indépendantes les unes des autres (mais
+certaines peuvent se ressembler).  La sélection des questions et
+l'ordre ont été tirés aléatoirement et n'obéissent donc à aucune
+logique particulière.
+
+La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question
+suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour
+signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse
+proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la
+question 4 est (D).
+
+Une réponse incorrecte sera (possiblement jusqu'à deux fois) plus
+fortement pénalisée qu'une absence de réponse : il est donc préférable
+de ne pas répondre à une question que de répondre aléatoirement.
+
+\medbreak
+
+Durée : 1h de 17h30 à 18h30
+
+\vfill
+
+\noindent
+Sujet généré pour : \texttt{\seedval}
+
+\medskip
+
+{\tiny\noindent
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+\begin{qcm}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu suivant : Alice choisit une ligne du tableau
+suivant, \emph{puis} (en ayant connaissance du choix qu'Alice vient de
+faire) Bob choisit une colonne ; Alice gagne alors un score égal au
+nombre inscrit dans le tableau (à la ligne et la colonne choisies) et
+Bob gagne le score opposé.  (Chaque joueur cherche à maximiser son
+score.)
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline
+U&$0$&$0$&$+1$&$+1$&$-1$\\
+V&$0$&$0$&$-1$&$-1$&$+1$\\
+W&$-1$&$+1$&$0$&$0$&$+2$\\
+X&$-1$&$+1$&$0$&$0$&$-1$\\
+Y&$+1$&$-1$&$-2$&$+1$&$0$\\
+%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 0, 1, 1, -1], [0, 0, -1, -1, 1], [-1, 1, 0, 0, 2], [-1, 1, 0, 0, -1], [1, -1, -2, 1, 0]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
+
+\rightanswer
+il s'agit d'un jeu à information parfaite, et Alice a une stratégie
+lui garantissant un score $\geq -1$
+
+\answer
+il s'agit d'un jeu à information parfaite, et Alice a une stratégie
+lui garantissant un score $\geq +2$
+
+\answer
+il s'agit d'un jeu en forme normale, à information imparfaite, et les
+deux joueurs ont une stratégie leur donnant à chacun un score espéré
+$\geq 0$
+
+\answer
+il s'agit d'un jeu en forme normale, à information imparfaite, et les
+deux joueurs ont une stratégie leur donnant à chacun un score espéré
+$\geq +1$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu suivant : chacun tour à tour place un pion
+sur un échiquier $8\times 8$ de manière à n'être ni sur la même ligne,
+ni sur la même colonne, ni sur une même diagonale (dans un sens ou
+dans l'autre) qu'un pion déjà placé (par un joueur ou l'autre) ;
+autrement dit, les pions ne doivent pas pouvoir se prendre selon un
+mouvement de dame aux échecs.  Comme d'habitude, le premier joueur qui
+ne peut pas jouer a perdu.
+
+Chloé tient le raisonnement suivant (imitant le raisonnement
+justifiant que dans le jeu de chomp le premier joueur a une stratégie
+gagnante) : « (1) on a affaire à un jeu à information parfaite,
+impartial, défini par un graphe bien-fondé, donc l'un des deux joueurs
+a une stratégie gagnante ; (2) ce joueur est forcément Alice : en
+effet, supposons par l'absurde que ce soit Bob, alors Bob aurait un
+coup gagnant à jouer en réponse à n'importe quel coup initial d'Alice,
+mais Alice pourrait jouer ce coup dès le premier tour, se mettant
+ainsi dans la position supposément gagnante ».
+
+Que pensez-vous de ce raisonnement (on ne demande pas de se prononcer
+sur l'exactitude de la conclusion, i.e., si Alice a une stratégie
+gagnante ou pas, mais sur le \emph{raisonnement} qu'on vient
+d'écrire) ?
+
+\rightanswer
+la partie (1) est correcte, mais la partie (2) ne l'est pas (Alice ne
+peut pas forcément se ramener à une position supposément gagnante)
+
+\answer
+la partie (1) est incorrecte (il ne s'agit pas d'un jeu à information
+parfaite impartial défini par un graphe bien-fondé)
+
+\answer
+le raisonnement est correct (les deux parties (1) et (2) le sont)
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, symétrique, entre
+Alice et Bob, dont la matrice des gains est donnée par le tableau
+suivant (Alice choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau
+donne le gain d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur
+indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline
+U&$0$&$0$&$+1$&$+1$&$-1$\\
+V&$0$&$0$&$-1$&$-1$&$+1$\\
+W&$-1$&$+1$&$0$&$0$&$+2$\\
+X&$-1$&$+1$&$0$&$0$&$-1$\\
+Y&$+1$&$-1$&$-2$&$+1$&$0$\\
+%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 0, 1, 1, -1], [0, 0, -1, -1, 1], [-1, 1, 0, 0, 2], [-1, 1, 0, 0, -1], [1, -1, -2, 1, 0]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Laquelle des réponses suivantes est une stratégie optimale à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités de jouer les
+options U,V,W,X,Y dans cet ordre.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{4})$
+
+\answer
+$(1, 0, 0, 0, 0)$
+
+\answer
+$(0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
+
+\answer
+$(0, 0, 0, 0, 1)$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, symétrique, entre
+Alice et Bob, dont la matrice des gains est donnée par le tableau
+suivant (Alice choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau
+donne le gain d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur
+indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline
+U&$0$&$+1$&$-1$&$0$&$-1$\\
+V&$-1$&$0$&$+2$&$-1$&$-1$\\
+W&$+1$&$-2$&$0$&$+1$&$+2$\\
+X&$0$&$+1$&$-1$&$0$&$0$\\
+Y&$+1$&$+1$&$-2$&$0$&$0$\\
+%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 1, -1, 0, -1], [-1, 0, 2, -1, -1], [1, -2, 0, 1, 2], [0, 1, -1, 0, 0], [1, 1, -2, 0, 0]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Laquelle des réponses suivantes est une stratégie optimale à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités de jouer les
+options U,V,W,X,Y dans cet ordre.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0)$
+
+\answer
+$(\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{1}{5})$
+
+\answer
+$(0, 0, 0, 0, 1)$
+
+\answer
+$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0, 0)$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, symétrique, entre
+Alice et Bob, dont la matrice des gains est donnée par le tableau
+suivant (Alice choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau
+donne le gain d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur
+indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrrrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline
+U&$0$&$+2$&$+1$&$0$&$-2$\\
+V&$-2$&$0$&$+1$&$+1$&$+1$\\
+W&$-1$&$-1$&$0$&$-1$&$+2$\\
+X&$0$&$-1$&$+1$&$0$&$-2$\\
+Y&$+2$&$-1$&$-2$&$+2$&$0$\\
+%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 2, 1, 0, -2], [-2, 0, 1, 1, 1], [-1, -1, 0, -1, 2], [0, -1, 1, 0, -2], [2, -1, -2, 2, 0]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Laquelle des réponses suivantes est une stratégie optimale à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités de jouer les
+options U,V,W,X,Y dans cet ordre.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{2}{5}, 0, \frac{2}{5}, 0, \frac{1}{5})$
+
+\answer
+$(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0, 0)$
+
+\answer
+$(0, 0, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$
+
+\answer
+$(0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, entre Alice et Bob,
+dont la matrice des gains est donnée par le tableau suivant (Alice
+choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau donne le gain
+d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&X&Y&Z\\\hline
+U&$-3$&$0$&$+3$\\
+V&$0$&$-1$&$-3$\\
+W&$-2$&$+2$&$-1$\\
+%% m = Matrix(QQ, 3, 3, [[-3, 0, 3], [0, -1, -3], [-2, 2, -1]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Quelle est la stratégie optimale de chacun des deux joueurs à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités pour Alice de
+jouer les options U,V,W dans cet ordre puis pour Bob de jouer X,Y,Z.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0)$ pour Alice, et $(\frac{2}{3}, 0,
+\frac{1}{3})$ pour Bob
+
+\answer
+$(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 0)$ pour Alice, et $(\frac{1}{4},
+\frac{3}{4}, 0)$ pour Bob
+
+\answer
+$(0,1,0)$ pour Alice, et $(1,0,0)$ pour Bob
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, entre Alice et Bob,
+dont la matrice des gains est donnée par le tableau suivant (Alice
+choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau donne le gain
+d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&X&Y&Z\\\hline
+U&$-3$&$-2$&$+2$\\
+V&$+1$&$+2$&$0$\\
+W&$0$&$-2$&$-3$\\
+%% m = Matrix(QQ, 3, 3, [[-3, -2, 2], [1, 2, 0], [0, -2, -3]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Quelle est la stratégie optimale de chacun des deux joueurs à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités pour Alice de
+jouer les options U,V,W dans cet ordre puis pour Bob de jouer X,Y,Z.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, 0)$ pour Alice, et $(\frac{1}{3}, 0,
+\frac{2}{3})$ pour Bob
+
+\answer
+$(\frac{3}{8}, 0, \frac{5}{8})$ pour Alice, et $(\frac{5}{8}, 0,
+\frac{3}{8})$ pour Bob
+
+\answer
+$(0,1,0)$ pour Alice, et $(0,0,1)$ pour Bob
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu en forme normale à somme nulle, entre Alice et Bob,
+dont la matrice des gains est donnée par le tableau suivant (Alice
+choisit la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau donne le gain
+d'Alice et le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|rrr}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&X&Y&Z\\\hline
+U&$-3$&$-2$&$+2$\\
+V&$+3$&$+1$&$0$\\
+W&$+1$&$+1$&$-1$\\
+%% m = Matrix(QQ, 3, 3, [[-3, -2, 2], [3, 1, 0], [1, 1, -1]])
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Quelle est la stratégie optimale de chacun des deux joueurs à ce jeu ?
+(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités pour Alice de
+jouer les options U,V,W dans cet ordre puis pour Bob de jouer X,Y,Z.)
+
+\rightanswer
+$(\frac{1}{5}, \frac{4}{5}, 0)$ pour Alice, et $(0, \frac{2}{5},
+\frac{3}{5})$ pour Bob
+
+\answer
+$(\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3})$ pour Alice, et $(0, \frac{1}{2},
+\frac{1}{2})$ pour Bob
+
+\answer
+$(0,1,0)$ pour Alice, et $(0,0,1)$ pour Bob
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Considérons le jeu (en forme normale) analogue à
+pierre-papier-ciseaux, sauf que les deux joueurs \emph{détestent}
+choisir tous les deux la même option, si bien que la matrice des gains
+est la suivante (ce n'est plus un jeu à somme nulle !) :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{r|ccc}
+$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline
+Pierre&$-100,-100$&$-1,+1$&$+1,-1$\\
+Papier&$+1,-1$&$-100,-100$&$-1,+1$\\
+Ciseaux&$-1,+1$&$+1,-1$&$-100,-100$\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+On considère deux profils de stratégies mixtes : (x) Alice et Bob
+jouent tous les deux une option entre pierre, papier ou ciseaux
+choisie aléatoirement avec probabilité $\frac{1}{3}$ (comme la
+stratégie optimale dans le cas du jeu à somme nulle) ; et : (y) Alice
+et Bob jouent tous les deux : papier avec probabilité $\frac{101}{200}
+= 0.505$, pierre avec probabilité $\frac{99}{200} = 0.495$ et jamais
+ciseaux.  Que pensez-vous de ces deux profils ?
+
+\rightanswer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) n'en est pas un
+
+\answer
+(x) n'est pas un équilibre de Nash, mais (y) en est un
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash
+
+\answer
+ni (x) ni (y) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi
+« rouge », « vert » ou « bleu ».  Chacun reçoit alors un score (entre
+$1$ et $12$) égal au nombre (total) de joueurs ayant choisi cette
+option.  (Autrement dit, chaque joueur choisit sa couleur et essaie
+d'être dans un groupe aussi grand que possible.)
+
+On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs
+jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard
+uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour
+chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais
+uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec
+probabilité $\frac{1}{2}$.  Que pensez-vous de ces profils ?
+
+\rightanswer
+(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash
+
+\answer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en
+est pas
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en
+est pas
+
+\answer
+ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Douze joueurs jouent au jeu suivant : chacun choisit une option parmi
+« rouge », « vert » ou « bleu ».  Chacun reçoit alors un score (entre
+$-1$ et $-12$) égal à \emph{l'opposé} du nombre (total) de joueurs
+ayant choisi cette option.  (Autrement dit, chaque joueur choisit sa
+couleur et essaie d'être dans un groupe aussi petit que possible.)
+
+On considère trois profils de stratégies mixtes : (x) tous les joueurs
+jouent « rouge » ; (y) chaque joueur joue une option tirée au hasard
+uniformément (c'est-à-dire avec probabilité $\frac{1}{3}$ pour
+chacune) ; et (z) chaque joueur joue une option tirée au hasard mais
+uniquement entre « rouge » et « vert », chacune avec
+probabilité $\frac{1}{2}$.  Que pensez-vous de ces profils ?
+
+\rightanswer
+(y) est un équilibre de Nash, mais (x) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(x), (y) et (z) sont tous les trois des équilibres de Nash
+
+\answer
+(x) est un équilibre de Nash, mais (y) et (z) n'en sont pas
+
+\answer
+(y) et (z) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (x) n'en
+est pas
+
+\answer
+(x) et (y) sont tous les deux des équilibres de Nash, mais (z) n'en
+est pas
+
+\answer
+ni (x) ni (y) ni (z) n'est un équilibre de Nash
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Ambre et Bastien ($8$ ans) jouent à
+pierre-papier-ciseaux-éléphant-souris, dont les règles sont les
+suivantes : chacun choisit une des cinq options (pierre, papier,
+ciseau, éléphant ou souris) indépendamment de l'autre, et
+\begin{itemize}
+\item si les deux joueurs ont choisi la même option, le jeu est nul,
+  sinon :
+\item si les deux joueurs ont choisi parmi pierre, papier ou ciseaux,
+  le gagnant est déterminé comme à pierre-papier-ciseaux (i.e., le
+  papier gagne sur la pierre, les ciseaux gagnent sur le papier et la
+  pierre gagne sur les ciseaux),
+\item l'éléphant gagne sur tout sauf la souris,
+\item la souris gagne sur l'éléphant et perd contre tout le reste.
+\end{itemize}
+(On accordera la valeur $+1$ au fait de gagner, $-1$ au fait de
+perdre, et $0$ à un match nul.)
+
+Quelle est la stratégie optimale à ce jeu ?
+
+\rightanswer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{9}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{3}$ et souris avec
+probabilité $\frac{1}{3}$
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{3}$, et jamais éléphant ni souris
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier, ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{6}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{2}$ et jamais
+souris
+
+\answer
+jouer chacun de pierre, papier et ciseaux avec probabilité
+$\frac{1}{4}$, éléphant avec probabilité $\frac{1}{8}$ et souris avec
+probabilité $\frac{1}{8}$
+
+\answer
+jouer chacune des cinq options avec probabilité $\frac{1}{5}$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
+réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
+formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
+a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x
+\leq \frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x > \frac{1}{3}$, Bob
+gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit
+$0{.}01010101\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?
+
+\rightanswer
+Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+aucun joueur n'a de stratégie gagnante
+
+\answer
+un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
+lequel
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre
+réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est
+formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty}
+a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x
+< \frac{2}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{2}{3}$, Bob
+gagne.  (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{2}{3}$ s'écrit
+$0{.}10101010\ldots$ en binaire.)  Que pensez-vous de ce jeu ?
+
+\rightanswer
+Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+aucun joueur n'a de stratégie gagnante
+
+\answer
+un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir
+lequel
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Soit $A \subseteq \{0,1\}^{\mathbb{N}_{>0}}$ l'ensemble des suites
+binaires $\dblunderline{a} := (a_1,a_2,a_3,\ldots)$ (indicées par
+$\mathbb{N}_{>0} = \{1,2,3,4,\ldots\}$) ayant la propriété suivante :
+il existe $k\geq 1$ tel que $a_{k+i} = a_i$ pour tout $1\leq i\leq k$,
+autrement dit, les $k$ premiers termes de la suite $(a_1,\ldots,a_k)$
+sont immédiatement répétés en $(a_{k+1},\ldots,a_{2k})$.  (À titre
+d'exemple, toute suite commençant par $(0,1,0,1,\ldots)$ appartient
+à $A$ puisque les $k=2$ premiers termes sont immédiatement répétés.)
+
+Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son
+tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit
+$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de
+suite).  Au bout d'un nombre infini de tours, Alice gagne si la suite
+$\dblunderline{a} := (a_1,a_2,a_3,\ldots)$ appartient à $A$, tandis
+que Bob gagne dans le cas contraire.  (Bref, Alice cherche à ce qu'il
+existe $k\geq 1$ tel que les $k$ premiers termes de la suite se
+répètent immédiatement, Bob cherche à empêcher ce fait.)
+
+Que pensez-vous de cette partie $A$ et de ce jeu ?
+
+\rightanswer
+$A$ est ouvert mais n'est pas fermé ; Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+$A$ est fermé mais n'est pas ouvert ; Bob a une stratégie gagnante
+
+\answer
+$A$ est ouvert mais n'est pas fermé ; Alice a une stratégie gagnante
+
+\answer
+$A$ est fermé mais n'est pas ouvert ; Alice a une stratégie gagnante
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Quel joueur a une stratégie gagnante dans la configuration du jeu de
+nim où il y a $5$, $7$, $9$ et $11$ bâtonnets sur les (quatre) lignes
+du jeu ?
+
+\rightanswer
+le second joueur (celui qui vient de jouer)
+
+\answer
+le premier joueur (celui qui doit jouer)
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Quel joueur a une stratégie gagnante dans la configuration du jeu de
+nim où il y a $7$, $9$, $11$ et $13$ bâtonnets sur les (quatre) lignes
+du jeu ?
+
+\rightanswer
+le premier joueur (celui qui doit jouer)
+
+\answer
+le second joueur (celui qui vient de jouer)
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il
+y a $1$, $4$, $10$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu.
+Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ?
+
+\rightanswer
+retirer $1$ bâtonnet de la ligne qui en a $10$ (qui passe donc à $9$)
+
+\answer
+retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $10$ (qui passe donc à $7$)
+
+\answer
+retirer le seul bâtonnet de la ligne qui en a $1$ (qui disparaît donc)
+
+\answer
+retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $12$ (qui passe donc à $9$)
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+C'est à votre tour de jouer au jeu de nim dans une configuration où il
+y a $1$, $6$, $8$ et $12$ bâtonnets sur les (quatre) lignes du jeu.
+Que faites-vous (pour suivre la stratégie gagnante) ?
+
+\rightanswer
+retirer $1$ bâtonnet de la ligne qui en a $6$ (qui passe donc à $5$)
+
+\answer
+retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $6$ (qui passe donc à $3$)
+
+\answer
+retirer le seul bâtonnet de la ligne qui en a $1$ (qui disparaît donc)
+
+\answer
+retirer $3$ bâtonnets de la ligne qui en a $8$ (qui passe donc à $5$)
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+On considère le jeu combinatoire (impartial, à information parfaite)
+associé au graphe orienté acyclique représenté ci-dessous, la position
+de départ étant notée $s$ :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp]
+\node (n00) at (0bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n01) at (40bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n02) at (80bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n10) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n11) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n12) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n20) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n21) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n22) at (80bp,-80bp) [draw,circle] {$s$};
+\draw[->] (n01) -- (n00);  \draw[->] (n02) -- (n01);
+\draw[->] (n11) -- (n10);  \draw[->] (n12) -- (n11);
+\draw[->] (n21) -- (n20);  \draw[->] (n22) -- (n21);
+\draw[->] (n11) -- (n00);  \draw[->] (n12) -- (n01);
+\draw[->] (n21) -- (n10);  \draw[->] (n22) -- (n11);
+\draw[->] (n10) -- (n00);  \draw[->] (n20) -- (n10);
+\draw[->] (n11) -- (n01);  \draw[->] (n21) -- (n11);
+\draw[->] (n12) -- (n02);  \draw[->] (n22) -- (n12);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Quelle est la valeur de Grundy du jeu (i.e., celle de la
+position $s$) ?
+
+\rightanswer
+$0$
+
+\answer
+$1$
+
+\answer
+$2$
+
+\answer
+$3$
+
+\answer
+$4$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+On considère le jeu combinatoire (impartial, à information parfaite)
+associé au graphe orienté acyclique représenté ci-dessous, la position
+de départ étant notée $s$ :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp]
+\node (n00) at (0bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n01) at (40bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n02) at (80bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (n10) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n11) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n12) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (n20) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n21) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (n22) at (80bp,-80bp) [draw,circle] {$s$};
+\draw[->] (n01) -- (n00);  \draw[->] (n02) -- (n01);
+\draw[->] (n11) -- (n10);  \draw[->] (n12) -- (n11);
+\draw[->] (n21) -- (n20);  \draw[->] (n22) -- (n21);
+\draw[->] (n21) -- (n10);  \draw[->] (n22) -- (n11);
+\draw[->] (n10) -- (n00);  \draw[->] (n20) -- (n10);
+\draw[->] (n11) -- (n01);  \draw[->] (n21) -- (n11);
+\draw[->] (n12) -- (n02);  \draw[->] (n22) -- (n12);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Quelle est la valeur de Grundy du jeu (i.e., celle de la
+position $s$) ?
+
+\rightanswer
+$3$
+
+\answer
+$0$
+
+\answer
+$1$
+
+\answer
+$2$
+
+\answer
+$4$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Quel joueur a une stratégie gagnante dans le jeu combinatoire
+(impartial, à information parfaite) associé au graphe orienté
+acyclique représenté ci-dessous, la position de départ étant
+notée $s$ ?
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp]
+\node (l0) at (-40bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (c0) at (0bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (r0) at (40bp,0bp) [draw,circle] {};
+\node (l1) at (-40bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (c1) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (r1) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {};
+\node (l2) at (-40bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (c2) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (r2) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {};
+\node (l3) at (-40bp,-120bp) [draw,circle] {};
+\node (c3) at (0bp,-120bp) [draw,circle] {};
+\node (r3) at (40bp,-120bp) [draw,circle] {};
+\node (l4) at (-40bp,-160bp) [draw,circle] {};
+\node (c4) at (0bp,-160bp) [draw,circle] {};
+\node (r4) at (40bp,-160bp) [draw,circle] {};
+\node (c5) at (0bp,-200bp) [draw,circle] {$s$};
+\draw[->] (l0) -- (c0);  \draw[->] (r0) -- (c0);
+\draw[->] (l1) -- (l0);  \draw[->] (l1) -- (c0);
+\draw[->] (c1) -- (l0);  \draw[->] (c1) -- (r0);
+\draw[->] (r1) -- (r0);  \draw[->] (r1) -- (c0);
+\draw[->] (l1) -- (c1);  \draw[->] (r1) -- (c1);
+\draw[->] (l2) -- (l1);  \draw[->] (l2) -- (c1);
+\draw[->] (c2) -- (l1);  \draw[->] (c2) -- (r1);
+\draw[->] (r2) -- (r1);  \draw[->] (r2) -- (c1);
+\draw[->] (l2) -- (c2);  \draw[->] (r2) -- (c2);
+\draw[->] (l3) -- (l2);  \draw[->] (l3) -- (c2);
+\draw[->] (c3) -- (l2);  \draw[->] (c3) -- (r2);
+\draw[->] (r3) -- (r2);  \draw[->] (r3) -- (c2);
+\draw[->] (l3) -- (c3);  \draw[->] (r3) -- (c3);
+\draw[->] (l4) -- (l3);  \draw[->] (l4) -- (c3);
+\draw[->] (c4) -- (l3);  \draw[->] (c4) -- (r3);
+\draw[->] (r4) -- (r3);  \draw[->] (r4) -- (c3);
+\draw[->] (l4) -- (c4);  \draw[->] (r4) -- (c4);
+\draw[->] (c5) -- (l4);  \draw[->] (c5) -- (r4);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\rightanswer
+le second joueur
+
+\answer
+le premier joueur
+
+\answer
+aucun des deux
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Alice et Bob jouent au jeu suivant sur un échiquier $8\times 8$ sur
+lequel est positionné un unique pion (commun aux deux joueurs) :
+\begin{itemize}
+\item le pion démarre sur la case au coin sud-est de l'échiquier, et
+  Alice joue en premier,
+\item chaque joueur, tour à tour, déplace le pion d'une seule case,
+  soit vers le nord, soit vers l'ouest, soit (en diagonale) vers le
+  nord-ouest, mais sans dépasser les limites de l'échiquier,
+\item celui qui atteint la case au coin nord-ouest de l'échiquier a
+  \emph{gagné} (il revient au même de dire que le joueur qui ne peut
+  plus jouer a perdu).
+\end{itemize}
+
+Que pensez-vous de ce jeu ?  (On pourra par exemple calculer de proche
+en proche la valeur de Grundy, ou le type $\mathtt{P}$ ou
+$\mathtt{N}$, de chacune des $64$ positions possibles.)
+
+\rightanswer
+Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) doit commencer par
+déplacer le pion en diagonale (d'une case vers le nord-ouest)
+
+\answer
+Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) doit commencer par
+déplacer le pion d'une case vers le nord ou, indifféremment, vers
+l'ouest
+
+\answer
+Alice a une stratégie gagnante, et (pour la suivre) peut commencer par
+un coup quelconque
+
+\answer
+Bob a une stratégie gagnante
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+On considère une variante du jeu de nim, mais avec la différence qu'on
+peut retirer \emph{un ou deux} bâtonnets d'une seule ligne (et dans la
+limite du nombre effectivement présent sur cette ligne !).  Par
+exemple, à partir de la position $(1,2,3)$ (c'est-à-dire la position
+dans laquelle il y $1$ bâtonnet sur une ligne, $2$ sur une autre, et
+$3$ sur la troisième), on pourrait aller en $(0,2,3)$ ou $(1,1,3)$ ou
+$(1,0,3)$ ou $(1,2,2)$ ou $(1,2,1)$ mais pas en $(1,2,0)$.  Comme
+d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut plus jouer
+(c'est-à-dire quand il n'y a plus de bâtonnets), et le joueur qui
+devait jouer a alors perdu.
+
+Laquelle des descriptions suivantes définit la stratégie gagnante de
+ce jeu ?  (On pourra commencer par la valeur de Grundy de la position
+où il y a une unique ligne avec $n$ bâtonnets, et se rappeler que la
+valeur de Grundy de la somme de nim de deux jeux est la somme de nim
+des valeurs de Grundy.)
+
+\rightanswer
+jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre pair de lignes ayant un
+nombre de bâtonnets congru à $1$ modulo $3$ et aussi un nombre pair de
+lignes ayant un nombre de bâtonnets congru à $2$ modulo $3$
+
+\answer
+jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre impair de lignes ayant un
+nombre de bâtonnets congru à $1$ modulo $3$ et aussi un nombre pair de
+lignes ayant un nombre de bâtonnets congru à $2$ modulo $3$
+
+\answer
+jouer de manière à ce qu'il y ait un nombre pair de lignes ayant un
+nombre de bâtonnets non multiple de $3$
+
+\answer
+jouer de manière à ce que le nombre total de bâtonnets (sur toutes les
+lignes) soit multiple de $3$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+On considère le jeu suivant : on a une (unique) ligne de bâtonnets, et
+chaque joueur, quand vient son tour, peut retirer un nombre de
+bâtonnets égal à une puissance de $2$ (c'est-à-dire que s'il y a $n$
+bâtonnets avant de jouer, il en laisse $n-2^k$ pour un certain $k$
+entier avec $2^k \leq n$ ; par exemple, s'il y a $17$ bâtonnets, on
+peut en laisser $16$, $15$, $13$, $7$ ou $1$).  Comme d'habitude, le
+jeu se termine quand un joueur ne peut plus jouer (c'est-à-dire quand
+il n'y a plus de bâtonnets), et le joueur qui devait jouer a alors
+perdu.
+
+Laquelle des suites suivantes donne la valeur de Grundy de la position
+où il y a $n$ bâtonnets (pour $n=0,1,2,3,\ldots$) ?
+
+\rightanswer
+$0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\ldots$
+
+\answer
+$0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1\ldots$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+On considère le jeu suivant : l'état du jeu est formé d'un certain
+nombre de tas de pierres, chaque tas comportant $\geq 1$ pierre.
+Chaque joueur, quand vient son tour, choisit un tas ayant $\geq 2$
+pierres et le scinde en deux tas ayant chacun $\geq 1$ pierres
+(autrement dit, il remplace un tas de $n \geq 2$ pierres par deux tas
+ayant $n_1$ et $n_2$ pierres, avec $n = n_1 + n_2$ et $n_1\geq 1$ et
+$n_2 \geq 1$).  En particulier, le nombre total de pierres ne change
+jamais.  Comme d'habitude, le jeu se termine quand un joueur ne peut
+plus jouer (c'est-à-dire quand il n'y a plus que des tas de
+$1$ pierre), et le joueur qui devait jouer a alors perdu.
+
+Quelle formule de récurrence permet de calculer la fonction de Grundy
+$f(n) := \gr(H_n)$ de l'état $H_n$ du jeu ayant un unique tas de $n$
+pierres ?
+
+\rightanswer
+$f(1) = 0$ et $f(n) = \mex\{f(k)\oplus f(n-k) : 1\leq k\leq n-1\}$
+
+\answer
+$f(1) = 0$ et $f(n) = \mex\{f(k) : 1\leq k\leq n-1\}$
+
+\answer
+$f(1) = 0$ et $f(n) = \mex\{f(k) + f(n-k) : 1\leq k\leq n-1\}$
+
+\answer
+$f(1) = 0$ et $f(n) = \mex\{f(k_1) \oplus \cdots \oplus f(k_r) : k_1,\ldots,k_r \geq 1 \ \text{et}\ k_1+\cdots+k_r = n\}$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?
+
+\rightanswer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 4)})\cdot 2})\cdot 3$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 3)})\cdot 4})\cdot 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 3})\cdot 4$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Lequel des ordinaux suivants est le plus grand ?
+
+\rightanswer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})\cdot 2})+ 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega\cdot 2)})+ 2})\cdot 2$
+
+\answer
+$(\omega^{(\omega^{(\omega+ 2)})\cdot 2})\cdot 2$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $\omega + \omega^2 +
+\omega^\omega$ ?
+
+\rightanswer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^\omega + \omega^2 + \omega$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega+1}$
+
+\answer
+$\omega^\omega\cdot 2$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $\omega \cdot \omega^2 \cdot
+\omega^\omega$ (produit de $\omega$, de $\omega^2$ et de
+$\omega^\omega$ dans cet ordre) ?
+
+\rightanswer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega+3}$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega+1}$
+
+\answer
+$\omega^{\omega\cdot 2}$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega\cdot 2}$ (lire :
+$2$ puissance $\omega\cdot 2$) ?
+
+\rightanswer
+$\omega^2$
+
+\answer
+$\omega$
+
+\answer
+$\omega^\omega$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^2}$
+
+\answer
+$\omega^{\omega^\omega}$
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Sachant que $\varepsilon_0 = \omega^{\varepsilon_0}$, auquel ordinaux
+suivants est égal $\varepsilon_0^{\varepsilon_0}$ ?
+
+\rightanswer
+$\omega^{\omega^{(\varepsilon_0\cdot 2)}}$ (lire : $\omega$ puissance
+[$\omega$ puissance $\varepsilon_0\cdot 2$])
+
+\answer
+$\omega^{\omega^{(\varepsilon_0^2)}}$ (lire : $\omega$ puissance
+[$\omega$ puissance $\varepsilon_0^2$])
+
+\answer
+$\omega^{(\varepsilon_0\cdot 2)}$ (lire : $\omega$ puissance
+$\varepsilon_0\cdot 2$)
+
+\answer
+$\omega^{(\varepsilon_0 + 1)}$ (lire : $\omega$ puissance
+$\varepsilon_0 + 1$)
+
+\end{question}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{question}
+
+Patience et Raoul jouent au jeu suivant : l'état du jeu est constitué
+d'un certain nombre de tas de pierres, les tas étant numérotés
+$0,1,2,3\ldots,r$ ; à chaque tour de jeu, Patience retire une pierre
+d'un des tas, disons du tas numéroté $k$, puis Raoul rajoute autant de
+pierre qu'il le souhaite sur les tas de numéro $<k$ (si Patience a
+retié une pierre du tas $0$, Raoul ne joue pas).  Patience gagne si
+elle finit par retirer toutes les pierres, tandis que Raoul gagne si
+cela ne se produit jamais (i.e., si le jeu dure infiniment longtemps).
+
+On souhaite montrer que Patience gagne forcément, quoi qu'elle fasse
+et quoi que fasse Raoul.  Quel ordinal proposez-vous d'associer à
+l'état du jeu où il y a $n_i$ pierres dans le tas $i$ (i.e., $n_0$
+pierres dans le tas numéroté $0$ et $n_1$ dans le tas numéroté $1$,
+etc.), de manière à s'assurer qu'il décroisse forcément ?
+
+\rightanswer
+$\omega^r\, n_r + \omega^{r-1}\, n_{r-1} + \cdots + \omega n_1 + n_0$
+
+\answer
+$\omega^{n_r}\, r + \omega^{n_{r-1}}\, (r-1) + \cdots + \omega^{n_1}$
+
+\answer
+$\omega^{n_r} + \omega^{n_{r-1}} + \cdots + \omega^{n_1} + \omega^{n_0}$
+
+\answer
+$n_0 + \omega\, n_1 + \cdots + \omega^{r-1}\, n_{r-1} + \omega^r\, n_r$
+
+\answer
+$\omega^{n_1} + \cdots + \omega^{n_{r-1}}\, (r-1) + \omega^{n_r}\, r$
+
+\answer
+$\omega^{n_0} + \omega^{n_1} + \cdots + \omega^{n_{r-1}} + \omega^{n_r}$
+
+\end{question}
+
+
+\end{qcm}
+%
+%
+%
+\end{document}