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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-14 14:07:18 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-14 14:07:18 (GMT)
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--- a/exercices-courbes.tex
+++ b/exercices-courbes.tex
@@ -15,12 +15,16 @@
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
+\usepackage{xr-hyper}
+%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix,calc}
\usepackage{hyperref}
%
+\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
+%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
@@ -129,14 +133,15 @@ b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$).
(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$. Montrer que $h$ est
irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$)
-et même géométriquement irréductible.
+et même géométriquement irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}).
\begin{corrige}
On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f
:= x^3 + ax + b \in k(x)$. Pour montrer qu'il est irréductible dans
$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré
dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible
-dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des
+dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß
+(\ref{gauss-lemma-on-irreducibility} : le pgcd dans $k[x]$ des
coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le
coefficient de $y^2$ est $1$). Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$,
car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs
@@ -229,28 +234,31 @@ v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la
valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est
complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont
de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des
-termes). Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$
-près. Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup
-\{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$,
-c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.
+termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
+Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ près.
+Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$
+(condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire
+$v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.
Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
-des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes
-en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son
-idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit
-avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement
-positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que
-$x$ doit avoir un pôle quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister
-une valuation telle que $v(x)<0$).
+des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau
+$k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de
+corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré
+par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation
+positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive
+en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $x$ doit
+avoir un pôle quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve},
+c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(x)<0$).
\end{corrige}
\smallbreak
(5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on
-rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ? Montrer que la place
-$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de
-degré $1$). Donner une uniformisante en $\heartsuit$.
+rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg(x) := [K:k(x)]$)
+et de $y$ ? Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est
+rationnelle (c'est-à-dire de degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}).
+Donner une uniformisante en $\heartsuit$.
\begin{corrige}
On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$
@@ -266,13 +274,14 @@ que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est
malheureusement bien ancrée.)
En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4),
-l'identité du degré appliquée à $\frac{1}{x}$ donne $\deg(\frac{1}{x})
-= \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on
-l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où
-$\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle
-$\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc
-$\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit
-$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}.
+l'identité du degré \ref{degree-identity} appliquée à $\frac{1}{x}$
+donne $\deg(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \,
+\deg(\heartsuit)$ puisque, comme on l'a montré en (4), $\heartsuit$
+est la \emph{seule} place où $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule
+place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que
+$\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et
+$\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est
+\emph{rationnelle}.
Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque
$\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
@@ -280,9 +289,9 @@ $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
\smallbreak
-(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
-d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues
-en (3).
+(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
+(cf. \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}) d'un élément de $K$
+représenté d'une des deux manières qu'on a vues en (3).
\begin{corrige}
Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on
@@ -341,20 +350,23 @@ Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier
de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la
valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation
d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est
-le plus petit des valuations des termes). Bref, on a complètement
-caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $w$
-doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation),
-on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$.
+le plus petit des valuations des termes,
+cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a
+complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque
+l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
+normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$
+et $w(y) = 1$.
Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
-des valuations appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de
-corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré
-par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation
-positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit,
-tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro
-quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle
-que $v(f_\sharp)>0$).
+des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau
+$k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de corps des fractions $K$, et à son
+idéal premier engendré par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit
+avoir une valuation positive sur $k[x,y]$ et strictement positive
+en $f_\sharp$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$
+doit avoir un zéro quelque part,
+cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit
+exister une valuation telle que $v(f_\sharp)>0$).
\end{corrige}
\smallbreak