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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-13 22:07:53 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-13 22:07:53 (GMT)
commit26cbde0ddc4824a9ae0399b3c9611bbe3dd0de63 (patch)
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-rw-r--r--exercices-courbes.tex42
1 files changed, 37 insertions, 5 deletions
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index d17f53f..12ab551 100644
--- a/exercices-courbes.tex
+++ b/exercices-courbes.tex
@@ -280,7 +280,7 @@ $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
\smallbreak
-(5) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
+(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues
en (3).
@@ -318,7 +318,7 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
satisfaite.}
-(6) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
+(7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
+ b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$
de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera
$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
@@ -359,15 +359,15 @@ que $v(f_\sharp)>0$).
\smallbreak
-(7) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
-$\clubsuit$ associée en (6) à un facteur irréductible $f_\sharp$
+(8) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
+$\clubsuit$ associée en (7) à un facteur irréductible $f_\sharp$
de $f$ ? Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$
et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément
de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$. Quel est le degré
de $\clubsuit$ ?
\begin{corrige}
-On se rappelle qu'on a vu en (6) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
+On se rappelle qu'on a vu en (7) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$. La valuation
$\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si
$\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant
@@ -406,6 +406,38 @@ $\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon.
En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$.
\end{corrige}
+\smallbreak
+
+(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui
+\emph{ne divise pas} $f$. Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de
+rupture de $f_P$ sur $k$. On considère la classe $\bar h$ de $h$
+modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux
+cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux
+polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible
+dans $\kappa[y]$. Montrer que dans le cas (a), il existe exactement
+deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$
+et $f_P$, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} = \kappa$ pour chacun d'entre
+eux ; et que dans le cas (b), il existe un unique idéal maximal
+$\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, à savoir l'idéal
+$(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$
+est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$
+sur $\kappa$, donc).
+
+\smallbreak
+
+(10) En continuant le contexte de la question précédente
+($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer
+que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$
+contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$
+(qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$,
+vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle.
+Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places
+de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg
+f_P$. Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi
+construites. Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K :
+ k(f_P(x))]$) ? En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs
+qu'aux places qu'on a construites.
+
%