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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-19 18:33:26 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-19 18:33:26 (GMT)
commit1128f4a6069a2ed3ffcd0f076e7d4623e03b2824 (patch)
tree61f2a93b37a30fdd47e9370b01bec350986f9cb0
parent1e6508bf0d30c0b94d24024ee038936ee9396615 (diff)
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Write an erratum for a flawed argument.upload-20160419
-rw-r--r--errata-20160419.tex176
-rw-r--r--notes-accq205.tex38
2 files changed, 196 insertions, 18 deletions
diff --git a/errata-20160419.tex b/errata-20160419.tex
new file mode 100644
index 0000000..2e07aef
--- /dev/null
+++ b/errata-20160419.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
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+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
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+\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
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+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
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+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
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+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
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+ {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
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+\newif\ifcorrige
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+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
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+%
+%
+%
+\begin{document}
+\title{Courbes algébriques\\Erratum sur les notes de cours}
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+\centerline{\textbf{ACCQ205}}
+
+(Modification à apporter par rapport à la version étiquetée :
+\texttt{e90daf0 Tue Apr 12 18:13:40 2016 +0200})
+
+Remplacer la section \ref{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
+par le texte suivant (qui justifie la
+proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} pour un point
+rationnel) :
+
+Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
+de $Z(I)$.
+
+Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in
+k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en
+notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ;
+quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on
+peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que
+$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$.
+
+Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar
+x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des
+indéterminées elles-mêmes).
+
+Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$,
+c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$,
+elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et
+la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des
+monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
++ bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la
+valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
+valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
+valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+que celle des monômes l'est.)
+
+Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
+$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$,
+cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien
+une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas).
+Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$
+l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
+de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme
+dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
+conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
+susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
+qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
+dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
+(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À
+présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
+complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+
+Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
+est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
+$v$-valuation strictement supérieure à $ae$. Observons que dans un
+polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
+remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si
+$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
+petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
+vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
+x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
+Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
+pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il
+s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
+les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
+supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est
+finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure
+termine\footnote{Une autre façon de voir la procédure ici décrite est
+ d'utiliser l'ordre sur les monômes $x^i y^j$ consistant à comparer
+ d'abord $i + e j$ puis, en cas d'égalité, $i$ : on cherche à
+ réécrire $f$ modulo $h$ pour rendre aussi grand que possible le plus
+ petit monôme dans $f$.}. On a donc expliqué comment calculer la
+$v$-valuation de $\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre
+information sur $v$ que $a$ et $e$. Du coup, $v$ est uniquement
+déterminé par ces données sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$
+(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Et comme on sait déjà
+qu'elle existe, il y a bien existence et unicité.
+
+Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est
+un multiple de $a$, on a forcément $a=1$.
+
+On a montré un cas particulier du résultat suivant :
+
+[L'énoncé de la proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} est
+ inchangé.]
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 4f1630a..9e6a688 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5671,7 +5671,8 @@ pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et
d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce
qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.)
-\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+\thingy\label{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
+Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
de $Z(I)$.
@@ -5694,7 +5695,7 @@ monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
+ bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la
valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
-valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
que celle des monômes l'est.)
Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
@@ -5705,25 +5706,26 @@ Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$
l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme
dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
-de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit
-modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ;
-comme $\bar h$ s'annule dans $K$,
-\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la
-valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À présent,
-cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement
-la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
+conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
+susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
+qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
+dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
+(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À
+présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
+complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
-$v$-valuation strictement supérieure. Observons que dans un polynôme
-$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer
-n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si $f$ est un
-polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite
-$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de
-dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$
-plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. Si le
-coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la
-valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il
+$v$-valuation strictement supérieure à $ae$. Observons que dans un
+polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
+remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si
+$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
+petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
+vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
+x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
+Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
+pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il
s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est