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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 16:38:37 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 16:38:37 (GMT)
commit1e6508bf0d30c0b94d24024ee038936ee9396615 (patch)
treed08447f92e21c861be5043e3207c636a48d84737
parent614e1b89fd29af5dd830d1478f955b3e3ebf4d5c (diff)
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Give slightly more details on some exercise questions.
-rw-r--r--exercices-courbes.tex9
1 files changed, 6 insertions, 3 deletions
diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex
index 81bd76c..3054aa7 100644
--- a/exercices-courbes.tex
+++ b/exercices-courbes.tex
@@ -236,10 +236,12 @@ y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les
termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des
valuations des termes,
cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a
-complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque
+complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près, à savoir $e
+\min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{3}{2})$. Mais puisque
l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et
-$w(y) = -3$.
+$w(y) = -3$, et plus généralement $w(f_0 + f_1 y) = \min(2
+v_\infty(f_0), 2 v_\infty(f_1) - 3)$.
Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
@@ -369,7 +371,8 @@ cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a
complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque
l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de
normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) =
-2$ et $w(y) = 1$.
+2$ et $w(y) = 1$. On a alors $w(f_0 + f_1 y) = \min(2
+v_{f_\sharp}(f_0), 2 v_{f_\sharp}(f_1) + 1)$.
Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence