summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 15:42:06 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 16:40:19 (GMT)
commit12def522ce4870c88efffef46241f0f4256825ec (patch)
treeb0bea9b36d8069a7de5467e6aef29a4798939e65
parentb20ffa4ce1e7df3c6fde5b51a796ed4baffdd1fa (diff)
downloadaccq205-12def522ce4870c88efffef46241f0f4256825ec.zip
accq205-12def522ce4870c88efffef46241f0f4256825ec.tar.gz
accq205-12def522ce4870c88efffef46241f0f4256825ec.tar.bz2
Change indications slightly.
-rw-r--r--controle-20160421.tex40
1 files changed, 29 insertions, 11 deletions
diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex
index bd069f6..e986735 100644
--- a/controle-20160421.tex
+++ b/controle-20160421.tex
@@ -102,15 +102,28 @@ est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
où commence chaque exercice.
-Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.
+La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été
+formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du
+cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes
+que les questions.
+
+\medbreak
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
L'usage des calculatrices électroniques est interdit.
+\medbreak
+
Durée : 3h
+\medbreak
+
+Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur.
+Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des
+points.
+
\pagebreak
@@ -118,7 +131,7 @@ Durée : 3h
%
%
-\exercice
+\exercice\label{equation-with-no-solutions}
Soit $K$ un corps de fonctions sur un corps $k$ (c'est-à-dire, une
extension de type fini de $k$ de degré de transcendance $1$), soit $P$
@@ -283,7 +296,7 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n
%
%
-\exercice
+\exercice\label{tsens-theorem}
Cet exercice utilise le résultat de
l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire}
@@ -521,7 +534,12 @@ algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont
des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m >
0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient
$d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun
-non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.]
+non-trivial dans $K^n$.
+
+(Ce résultat s'appelle le théorème de Tsen. On pourra remarquer que
+l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} montre que l'inégalité est
+optimale sur n'importe quel corps, puisqu'on y a trouvé un polynôme
+homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.)
\end{corrige}
@@ -539,7 +557,7 @@ k(x)[y]/(h)$.
(1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a
$w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre
-$w(y)$ et $w(x)$ lorsque c'est le cas.
+$w(y)$ et $w(x)$ si c'est le cas.
\begin{corrige}
Si $w(x)<0$ alors $w(x^5 - 1) = 5 w(x)$ (puisque $w(x^5) < w(1)$),
@@ -566,12 +584,12 @@ représentant, ce qui est bien la forme demandée.
\smallbreak
-(3) En déduire qu'il existe au plus une valuation $w$ de $K$ au-dessus
-de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la restriction de
-$w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante près, la valuation
-$v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ est complètement
-déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce que vaut cette
-quantité). Montrer qu'il existe effectivement une telle valuation.
+(3) En déduire qu'il existe une et une seule valuation $w$ de $K$
+au-dessus de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la
+restriction de $w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante
+près, la valuation $v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$
+est complètement déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce
+qu'elle vaut).
\begin{corrige}
La restriction de $w$ à $k(x)$ vérifie les propriétés (o), (i) et (ii)