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diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index bd069f6..e986735 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -102,15 +102,28 @@ est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. -Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. +La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été +formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du +cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes +que les questions. + +\medbreak L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des calculatrices électroniques est interdit. +\medbreak + Durée : 3h +\medbreak + +Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur. +Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des +points. + \pagebreak @@ -118,7 +131,7 @@ Durée : 3h % % -\exercice +\exercice\label{equation-with-no-solutions} Soit $K$ un corps de fonctions sur un corps $k$ (c'est-à-dire, une extension de type fini de $k$ de degré de transcendance $1$), soit $P$ @@ -283,7 +296,7 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n % % -\exercice +\exercice\label{tsens-theorem} Cet exercice utilise le résultat de l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire} @@ -521,7 +534,12 @@ algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient $d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun -non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] +non-trivial dans $K^n$. + +(Ce résultat s'appelle le théorème de Tsen. On pourra remarquer que +l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} montre que l'inégalité est +optimale sur n'importe quel corps, puisqu'on y a trouvé un polynôme +homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.) \end{corrige} @@ -539,7 +557,7 @@ k(x)[y]/(h)$. (1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a $w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre -$w(y)$ et $w(x)$ lorsque c'est le cas. +$w(y)$ et $w(x)$ si c'est le cas. \begin{corrige} Si $w(x)<0$ alors $w(x^5 - 1) = 5 w(x)$ (puisque $w(x^5) < w(1)$), @@ -566,12 +584,12 @@ représentant, ce qui est bien la forme demandée. \smallbreak -(3) En déduire qu'il existe au plus une valuation $w$ de $K$ au-dessus -de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la restriction de -$w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante près, la valuation -$v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ est complètement -déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce que vaut cette -quantité). Montrer qu'il existe effectivement une telle valuation. +(3) En déduire qu'il existe une et une seule valuation $w$ de $K$ +au-dessus de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la +restriction de $w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante +près, la valuation $v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ +est complètement déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce +qu'elle vaut). \begin{corrige} La restriction de $w$ à $k(x)$ vérifie les propriétés (o), (i) et (ii) |